Теорема Пуассона ~ Локальная теорема Муавра-Лапласа ~ Интегральная теорема Муавра-Лапласа ~ Теорема Бернулли

Теорема Пуассона.  При большом количестве испытаний вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Однако в ряде случаев их можно заменить более простыми асимптотическими формулами. Одна из них основана на теореме Пуассона.

Если число испытаний n ® и p ® 0 так, что np ® l , l > 0, то

при любых k = 0, 1, 2, … .

Это означает, что при больших n и малых p вместо вычислений по точной формуле

можно воспользоваться приближенной формулой

.

На практике пуассоновским приближением пользуются при npq= np(1-p) < 9. Исследуем точность асимптотической формулы Пуассона на следующем примере.

ПРИМЕР 1. Точность формулы Пуассона.

В здании 1000 лампочек. Вероятность выхода из строя одной лампочки в течение года p =0.003. Найдем вероятность того, что в течение одного года выйдет из строя более трех ламп. Выполним вычисления используя формулу Бернулли и по теореме Пуассона.

Для вычисления вероятности по формуле Бернулли используем формулу

P(x > 3) = 1- P(x 3) = 1- F_x (3),

где F_x (x) - функция распределения для биномиального распределения.

Для вычисления вероятности по теореме Пуассона используем формулу

P(m > 3) = 1- P(m   3) = 1- Fm (3),

где Fm (x) - функция распределения Пуассона с параметром l = np = 3.

Выполним те же вычисления для p = 0.3 и n = 10 (l = np =3).

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если npq > 9, то для расчетов используют приближение Муавра-Лапласа

,

где 0 < p < 1 , величина ограничена при n ® .

Требование ограниченности величины x_k означает, что при n ® величина

k тоже должна расти вместе с величиной n. Точность формулы

растет, как с ростом величин n и k, так и по мере приближения к 0.5 величин p и q.

Исследуем точность асимптотической формулы Муавра-Лапласа на следующем примере.

ПРИМЕР 2. Точность формулы Муавра-Лапласа.

Вычислим вероятность того, что случайная величина, имеющая биномиальное распределение, принимает значение, равное n/2 . Выполним вычисления для n = 10, 20, 50. Сравним результаты вычислений по формуле Бернулли и по приближенной формуле Муавра-Лапласа.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. При n ® для схемы Бернулли при любых a и b справедлива формула

.

Отсюда следует, что вероятность того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено между k₁ и k₂, можно вычислить по формуле

,

где , , - функция Лапласа.

Точность этой приближенной формулы растет с ростом n. Если значение npq сравнительно невелико, то лучшее приближение дает формула

,

и для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено между k₁ и k₂, можно использовать формулу

,

где , .

ПРИМЕР 3. Точность интегральных формул Муавра-Лапласа.

Вероятность рождения мальчика p = 0.51, а девочки - q = 1 - p = 0.49. Найдем вероятность того, что среди 10 000новорожденных мальчиков будет не менее 4 000 и не более 5000. Вычисления проведем по формуле Бернулли и по приближенным интегральным формулам Муавра-Лапласа.

Теорема Бернулли. Если x - число успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью p успеха в одном испытании, то для любого e > 0 справедливо

Это означает, что с ростом числа испытаний n относительная частота успехов x /n приближается к вероятности p успеха в одном испытании.

Определим, сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью, больше или равной b, отклонение относительной частоты успехов x /n от вероятности p было меньше e . Т.е. найдем n, для которого выполняется неравенство

Доказано, что для числа n, которое обеспечивает выполнение этого неравенства, справедливо

Следует обратить особое внимание на замечательный факт - искомое значение n не зависит от p!

ПРИМЕР 4. Производитель утверждает, что вероятность отрицательного отношения покупателя к новому товару невелика. Сколько нужно опросить человек, чтобы с вероятностью не менее 0.9 можно было утверждать, что относительная частота отрицательного отношения к новому товару отличается от заявленной производителем не более, чем на 0.01.