Теорема Тейлора ~ Степенной ряд ~ Основные разложения

Теорема Тейлора (о разложении функции в степенной ряд).

Функция, аналитическая в области комплексных чисел D, в окрестности каждой точки z₀ этой области представляется в виде степенного ряда:
(1)

радиус сходимости R которого не меньше, чем расстояние от точки z₀ до границы области D.
Такой степенной ряд называется рядом Тейлора.

Коэффициенты ряда Тейлора вычисляются по формуле:

(2)

где - произвольный контур, принадлежащий области D и охватывающий точку z₀ (в частности, - окружность ), или по формуле:

(3)

Радиус сходимости ряда Тейлора равен расстоянию от точки z₀ до ближайшей особой точки функции.

Для вычисления радиуса сходимости ряда Тейлора можно также использовать формулы:

Основные разложения.

  (z принадлежит области комплексных чисел);

  (z принадлежит области комплексных чисел);

  (z принадлежит области комплексных чисел);

  (z принадлежит области комплексных чисел);

  (z принадлежит области комплексных чисел);

ПРИМЕР 1. Разложение в ряд Тейлора функциии f(z), аналитической в области комплексных чисел.

ПРИМЕР 2. Разложение в ряд Тейлора рациональной дроби.

ПРИМЕР 3.