Пример 1 ~ Пример 2 ~ Пример 3

Пример 1. Записать разложение по степеням z функции f (z) = ch z.

Найдем производные функции:
f ⁽ⁿ⁾ (z) = ch⁽ⁿ⁾ z = ch z при n = 2k,
f ⁽ⁿ⁾ (z) = ch⁽ⁿ⁾ z = sh z при n = 2k-1.

В данном примере z₀ = 0. По формуле (3) имеем:
C_n = 0 при n = 2k; C_n = 1/n! при n = 2k-1;
.

Так как ch z - аналитическая функция в области действительных чисел, то радиус R равен бесконечности. В результате имеем:
(z принадлежит области действительных чисел).

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 2. Разложить по степеням (z-3) функцию f(z) = sin z.

Обозначим z-3 = t. Используя тригонометрическую формулу для функции sin (3+t), получим:
sin(3+t) = sin3 cos t+cos3 sin t.

Используя основные разложения, имеем:

Так как t = z-3, то   

т.е.   

где       

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 3. Разложить по степеням z функцию   

Дробь правильная. Раскладываем ее на элементарные дроби:

Раскладываем элементарные дроби по степеням z:

Для исходной дроби получаем разложение:

или, складывая ряды:

Окончательный ответ:

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica