Линейные уравнения первого порядка ~ Общее решение однородного уравнения ~ Решение задачи Коши для однородного  уравнения ~ Общее решение  неоднородного  уравнения ~ Решение задачи Коши для неоднородного  уравнения

Уравнение вида

называется линейным неоднородным уравнением.
Уравнение вида

называется линейным однородным уравнением.

Очевидно, что однородное линейное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и его общее решение вычисляется по формуле

где C— произвольная постоянная,

ПРИМЕР 1. Общее решение линейного однородного уравнения первого порядка.

Решение задачи Коши  y(x₀) = y₀ определяется выражением

ПРИМЕР 2. Решение задачи Коши для линейного однородного уравнения первого порядка.

Метод вариации произвольных постоянных для линейного неоднородного уравненя состоит в том, что решение неоднородного уравнения записывается в виде

где C(x) неизвестная функция. Подставляя в уравнение имеем для C(x)
откуда

и тогда для общего решения неоднородного уравнения справедливо

где C — произвольная постоянная.

ПРИМЕР 3. Общее решение линейного неоднородного уравнения первого порядка.

Для решения задачи Коши y(x₀) = y₀ для линейного неоднородного уравнения справедлива формула

ПРИМЕР 4. Решение задачи Коши для линейного неоднородного уравнения первого порядка.