Вопрос 1 ~ Вопрос 2 ~ Вопрос 3 ~ Вопрос 4

Вопрос 1. Уравнение l ² +3l +2 = 0 является характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами L(y) = 0. Запишите систему дифференциальных уравнений метода Лагранжа для вычисления общего решения уравнения L(y) = f(x).

Вопрос 2. Функции y₁(x) = shx и y₂(x) = сhx образуют фундаментальную систему решений линейного однородного дифференциального уравнения      L(y) = 0. Запишите формулы для вычисления методом Лагранжа общего решения уравнения L(y) = f(x).

Вопрос 3. Пусть  y₁(x) и y₂(x) -   фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка L(y) = 0. Докажите, что если функции c₁(x) и c₂(x) удовлетворяют системе
c₁'(x)y₁(x) + c₂'(x) y₂(x)  = 0,
c₁'(x)y₁'(x) + c₂'(x) y₂'(x) = f(x),
то y(x)= c₁(x)y₁(x) + c₂(x) y₂(x) является решением  неоднородного уравнения L(y) = f(x).

Вопрос 4. Пусть  y₁(x) и y₂(x) -   фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка L(y) = 0. Докажите, что если
y(x)= c₁(x)y₁(x) + c₂(x) y₂(x) -  решение неоднородного уравнения L(y) = f(x), то  функции c₁(x) и c₂(x) удовлетворяют системе
c₁'(x)y₁(x) + c₂'(x) y₂(x)  = 0,
c₁'(x)y₁'(x) + c₂'(x) y₂'(x) = f(x).