Определение 22: Базисом в пространстве свободных векторов V₃ называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Пусть В : а₁, а₂, а₃ – фиксированный базис в V₃.

Определение 23: Координатами вектора b относительно базиса В называется упорядоченная тройка чисел {x, y, z}, т.ч. b=x·a₁+ y·а₂+z· а₃.

Обозначение: b={x, y, z}_B

Теорема1: Соответствие между V₃ и R³ при фиксированном базисе взаимно однозначно, т.е. b V₃ ! {x, y, z} R³ и {x, y, z} R³ ! b V₃, т.ч. b={x, y, z}_B

Соответствие между вектором и его координатами в данном базисе обладает следующими свойствами:

1. Пусть b₁={x₁, y₁, z₁}_B, b₂={x₂, y₂, z₂}_B b₁+ b₂={x₁+ x₂, y₁+ y₂, z₁+ z₂}B

2. Пусть b={x, y, z}_B, λ R λ·b={ λ·x, λ· y, λ·z}B

3. Пусть b₁|| b₂, b₁= {x₁, y₁, z₁}_B, b₂={x₂, y₂, z₂}_B
     (Здесь: любое число).

Определение 23: Ортонормированный ( декартов ) базис – это i, j, k, т.ч.

1) | i |=| j |=| k |=1,

2) i j k i.

Замечание: i, j, k – это стандартное обозначение именно декартова базиса. Т.о., встречая его в тексте можно обойтись без дополнительных пояснений относительно системы координат.

Пример 2. Доказать свойство координат коллинеарных векторов

Пример 3. Проверка коллинеарности векторов

Пример 4. Найти координаты середины отрезка