Пример визуализации матрицы Чебышева порядка 8
              Cheb8 = gallery('chebspec',8);
с помощью функции see
              see((Cheb8)^3, -1)

Функция fv строит область расположения собственных значений квадратной матрицы A из C^nхn, удовлетворяющую отношениям Рэлея; сами собственные значения всегда расположены внутри этой области.

Функция gersh строит круги Гершгорина для квадратной матрицы A из C^nхn. Теорема Гершгорина утверждает, что собственные значения матрицы А содержатся в некотором объединении круговых областей.

Di = .

Следствием теоремы Гершгорина является утверждение: если k кругов образуют связную область, которая изолирована от других кругов, то в этой области содержится точно k собственных значений.

Изолированные области построены с помощью функции gersh(ipjfact(8,1));

Две оставшиеся графические функции ps и pscont связаны с построением e-псевдоспектра матрицы A I C^nхn, который определяется как множество Le собственных значений возмущенных матриц A + E, для всех матриц E с ||E||₂<= e. Псевдоспектр пятидиагональной матрицы Теплица построен с помощью функции

           T=pentoep(32, 0, 1, 0, 0, 1/4);
           ps(T)

Другой способ визуализации псевдоспектра - это построение функции
            f(z) = smin(zI - A),
где smin - наименьшее сингулярное число матрицы zI - A.

Функция pscont строит график функции log10(f - 1 (z)) в трехмерном пространстве. Псевдоспектр пятидиагональной матрицы Теплица построен с помощью функции

            T=pentoep(32, 0, 1, 0, 0, 1/4);
            pscont(T,2);

Кроме перечисленных М-функций, связанных с формированием и визуализацией матриц, в состав пакета входит 10 функций, связанных с задачами декомпозиции, 3 функции, связанные с задачами оптимизации, 24 вспомогательные функции и 2 демонстрационные программы-сценария.

Наряду с пакетом тестовых матриц Test Matrix Toolbox существуют и другие коллекции, среди которых следует отметить коллекцию разреженных матриц [2], коллекцию плотных матриц больших размеров для несимметрической проблемы собственных значений [3], а также коллекцию прямоугольных матриц [4].

Применение пакета тестовых матриц Test Matrix Toolbox следует настоятельно рекомендовать всем, кто использует на практике методы и алгоритмы линейной алгебры.

Ссылки:

1. Higham N. J. The Test Matrix Toolbox for MATLAB (version 3.0)//Numerical Analysis Report. Manchester, 1995. Vol. 276.

2. Duff I. S., Grimes R. G., Lewis J. G. Users’ guide for the Harwell-Boeing sparse matrix collection (release 1). Report RAL-92-086, Atlas Centre, Rutherford Appleton Labaratory, Didcot, Oxon, UK. 1992. P. 84.

3. Bai Z. A collection of test matrices for large scale nonsymmetric eigenvalue problems (version 1.0). Manuscript. 1994.

4. Zielke G. Report on test matrices for generalized inverses//Computing. 1986. Vol. 36. P. 105-162.