Купить Matlab  |  Mathematica  |  Mathcad  |  Maple  |  Statistica  |  Другие пакеты Поиск по сайту
Internet-класс  |  Примеры  |  Методики  |  Форум  |  Download
https://hub.exponenta.ru/


10 ноутбуков
В.П.Дьяконова
 
Интеграл Дюамеля

Определение интеграла Дюамеля

Пусть нам надо решить следующую задачу-вычислить напряжение на выходе u2(t) некоторой линейной системы с переходной характеристикой a(t) на заданный входной сигнал u1(t) в заданный момент времени t. Введем текущее время q. Заменим сигнал u1(q) его ступенчатым приближением, как это показано на рисунке снизу c некоторым фиксированным шагом dq (на рисунке он равен 1, но может быть произвольным).

[Graphics:Images/index_gr_1.gif]

[Graphics:Images/index_gr_2.gif]

Начальное значение u1(q) создает выходной сигнал u1(q)*a0). Если в момент времени (q+dq) возникает скачок входного сигнала, то его значение можно вычислить как (du1/dq)*dq. Выходной сигнал можно вычислить умножив значение этого скачка на значение переходной характеристики, определяемое с учетом времени действия скачка до момента времени t. Это время равно t-q-dq. Просумировав реакции системы от u1(0) и всех скачков получим приближенную формулу для зависимости

[Graphics:Images/index_gr_3.gif]

Если устремить dq к нулю (число ступенек при этом будет бесконечным), то эта формула переходит в выражение:

[Graphics:Images/index_gr_4.gif]

Оно называется интегралом Дюамеля. Вообще говоря можно получить еще три подобные формулы.
[Graphics:Images/index_gr_5.gif]

[Graphics:Images/index_gr_6.gif]

[Graphics:Images/index_gr_7.gif]

Мы ограничимся первой из приведенных формул интеграла Дюамеля.

Реакция дифференцирующей RC-цепи на экспоненциально нарастающий перепад

Для примера возьмем тривиальный случай, когда сигнал u1(t) экспоненциальный перепад, а переходная характеристика - спадающая экспонента:

[Graphics:Images/index_gr_8.gif]
[Graphics:Images/index_gr_9.gif]
[Graphics:Images/index_gr_10.gif]

Этот случай соответствует вычислению реации дифференцирующей RC-цепи с постоянной времени t2=R*C на экспоненциально нарастающий перепад напряжения. Из электротехники хорошо известно, что для решения поставленной задачи можно использовать интеграл Дюамеля. Одна из четырех форм его представлена ниже:

[Graphics:Images/index_gr_11.gif]
[Graphics:Images/index_gr_12.gif]
[Graphics:Images/index_gr_13.gif]
[Graphics:Images/index_gr_14.gif]

Нетрудно заметить, что помимо общей формы записи интеграла Дюамеля под ним получено аналитическое выражение для зависимости u2(t) в общем виде. Задав конкретные значения постоянных времении t1 и t2 нетрудно вычилить любое значение u2(t) и даже построить графики зависимостей u1(t), u2(t) и a(t):

[Graphics:Images/index_gr_15.gif]
[Graphics:Images/index_gr_16.gif]
[Graphics:Images/index_gr_17.gif]
[Graphics:Images/index_gr_18.gif]
[Graphics:Images/index_gr_19.gif]

[Graphics:Images/index_gr_20.gif]

[Graphics:Images/index_gr_21.gif]

Реакция RC-цепи на синусоиду с экспоненциально спадающей амплитудой

Немного усложним задачу и вычислим реакцию дифференцирующей RC-цепи на синусоидальный сигнал с экспоненциально спадающей амппитудой

[Graphics:Images/index_gr_22.gif]
[Graphics:Images/index_gr_23.gif]
[Graphics:Images/index_gr_24.gif]
[Graphics:Images/index_gr_25.gif]
[Graphics:Images/index_gr_26.gif]
[Graphics:Images/index_gr_27.gif]
[Graphics:Images/index_gr_28.gif]

Выражение для u2(t)попрежнему получено в аналитическом виде, однако его уже нельзя назвать простым и оно представлено комплексным выражением. Увы, такова жизнь при использовании аналитических методов. Функция Simplify позволяет заметно упростить выражение для u2(t) и сделать его вещественным, хотя и довольно сложным. Пока это, однако, не мешает вычислениям и построению графиков зависимостей u2(t):

[Graphics:Images/index_gr_29.gif]
[Graphics:Images/index_gr_30.gif]
[Graphics:Images/index_gr_31.gif]
[Graphics:Images/index_gr_32.gif]

[Graphics:Images/index_gr_33.gif]

[Graphics:Images/index_gr_34.gif]

Реакция линейной системы на входное воздействие с разрывами

А теперь применим интеграл Дюамеля для вычисления u2(t) как реакции дифференцирующей RC-цепи на входное воздействие в виде разнополярных симметричных прямоугольных импульсов - зависимость u1(t) = Sign(Sin(t/t1)):

[Graphics:Images/index_gr_35.gif]
[Graphics:Images/index_gr_36.gif]
[Graphics:Images/index_gr_37.gif]
[Graphics:Images/index_gr_38.gif]
[Graphics:Images/index_gr_39.gif]
[Graphics:Images/index_gr_40.gif]
[Graphics:Images/index_gr_41.gif]
[Graphics:Images/index_gr_42.gif]

Увы, здесь нас постигла неудача - Mathematica 4 отказывается вычислять интеграл Дюамеля, в хоторый входит функция u1(t) такого вида. И неудивительно - данная функция содержит разрывы, в которых производная в подынтегральной функции устремляется в бесконечность. Разумеется можно вычислить u2(t) для любой части u1(t), где u1(t)=const, но нас интересует общее решение.

Приближенное вычисление интеграла Дюамеля

Увы, но в подобных приведенному выше случаях мы вынуждены отказываться от аналитического вычисления интегралов. И более того, от применения встроенных в Mathematica 4 функций численного интегрирования. Вы можете проверить самостоятельно, что применение функции NIntegrate в данном случае к успеху не приводит. К счастью у нас остается еще одна возможность - приближенное вычисление интеграла Дюамеля по формуле, которая является его обоснованием.

Пусть q принимает дискретные значения с шагом

[Graphics:Images/index_gr_43.gif]

Тогда для приближенного вычисления интеграла Дюамеля можно использовать формулу:

[Graphics:Images/index_gr_44.gif]

Она позволяет вычислить u2(t) для любого момента времени и построить график зависисмости u2(t):

[Graphics:Images/index_gr_45.gif]
[Graphics:Images/index_gr_46.gif]
[Graphics:Images/index_gr_47.gif]

[Graphics:Images/index_gr_48.gif]

[Graphics:Images/index_gr_49.gif]

Вычисление реации интегрирующей RC-цепи на меандр

Приведем еще один пример приближенного вычисления интеграла Дюамеля - получение реакции интегрирующей RC-цепи (напряжение снимается с конденсатора C) на меандр:

[Graphics:Images/index_gr_50.gif]
[Graphics:Images/index_gr_51.gif]
[Graphics:Images/index_gr_52.gif]
[Graphics:Images/index_gr_53.gif]
[Graphics:Images/index_gr_54.gif]
[Graphics:Images/index_gr_55.gif]
[Graphics:Images/index_gr_56.gif]
[Graphics:Images/index_gr_57.gif]
[Graphics:Images/index_gr_58.gif]

[Graphics:Images/index_gr_59.gif]

[Graphics:Images/index_gr_60.gif]

Расчет реакции интегрирующей RC-цепи на прямоульный импульс

Следующий пример иллюстрирует реакцию интегрирующей RC-цепи на прямоугольный импульс, временная зависимость которого задана с помощью функции If:

[Graphics:Images/index_gr_61.gif]
[Graphics:Images/index_gr_62.gif]
[Graphics:Images/index_gr_63.gif]
[Graphics:Images/index_gr_64.gif]

Для вычисления u2(t) воспользуемся приближенным (численным) методом вычисления интеграла Дюамеля:

[Graphics:Images/index_gr_65.gif]
[Graphics:Images/index_gr_66.gif]
[Graphics:Images/index_gr_67.gif]
[Graphics:Images/index_gr_68.gif]
[Graphics:Images/index_gr_69.gif]

[Graphics:Images/index_gr_70.gif]

[Graphics:Images/index_gr_71.gif]

Выводы по применению интеграла Дюамеля

1. Интеграл Дюамеля дает простой и наглядный способ вычисления реакции u2(t) линейной системы (цепи) на произвольное входное воздействие u1(t) при известной переходной характеристике a(t) цепи.

2. Если u1(t) и a(t) представлены аналитическими выражениями, содержащими элементарные функции, и не имеющими особенностей на отрезке [0,t], то средствами Mathematica 4 можно вычислить u2(t) в аналитическом виде. Для упрощения выражения для u2(t) можно использовать функцию Simplify.

3. Если u1(t) или a(t) содержит особенности (разрывы, устремления в бесконечность и др.), то получение аналитического выражения для u2(t) может стать невозможным и в этом случае целесообразно применять приближенную формулу для интеграла Дюамеля. Недостаток такого подхода - вычисления происходят с довольно низкой скоростью.

В начало страницы

| На первую страницу | Поиск | Купить Matlab

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter


Copyright © 1993-2023. Компания Softline. Все права защищены.

Дата последнего обновления информации на сайте: 04.03.17
Сайт начал работу 01.09.00