Нормы векторов и матриц ~ Погрешности векторов и матриц ~ Обусловленность задачи решения системы уравнений ~ Относительное число обусловленности ~ Метод Гаусса (схема единственного деления) ~ LU-разложение матрицы 

Нормы векторов и матриц. Обозначим через - точное решение системы, а через - приближенное решение системы. Для количественной характеристики вектора погрешности введем понятие нормы.

Нормой вектора называется число , удовлетворяющее трем аксиомам:

1) причем = 0 тогда и только тогда, когда = 0;

2) для любого вектора и любого числа ;

3) для любых векторов и .

Наиболее употребительными являются следующие три нормы:

  ,    ,   .

Абсолютная и относительная погрешности вектора вводятся с помощью формул:

  и  .

Нормой матрицы называется величина . Введенная норма обладает свойствами, аналогичными свойствам нормы вектора:

1) причем = 0 тогда и только тогда, когда  A = 0;

2) для любой матрицы A и любого числа ;

3) для любых матриц A и B;

4) .

Каждой из векторных норм соответствует своя подчиненная норма матрицы:

  ,    ,   .

В оценках вместо нормы используется евклидова норма матрицы

  , так как   .

Абсолютная и относительная погрешности матрицы вводятся аналогично погрешностям вектора с помощью формул:

  ,   .

ПРИМЕР 1. Вычисление норм вектора и матрицы.

ПРИМЕР 2. Вычисление норм матрицы.

Пусть рассматривается система линейных алгебраических уравнений

В матричной форме записи она имеет вид . Будем предполагать, что матрица системы задана и является невырожденной. Известно, что в этом случае решение системы существует, единственно и устойчиво по входным данным.

Обусловленность задачи. Так же как и другие задачи, задача вычисления решения системы может быть как хорошо обусловленной, так и плохо обусловленной.

Теорема об оценке погрешности решения по погрешностям входных данных.

Пусть решение системы , а x* - решение системы A*x*=b*, тогда , где - относительное число обусловленности системы.

Если число обусловленности больше 10, то система является плохо обусловленной, так как возможен сильный рост погрешности результата.

ПРИМЕР 3. Оценка числа обусловленности и эксперимент.

Метод Гаусса. Рассмотрим метод Гаусса (схему единственного деления) решения системы уравнений. Прямой ход состоит из m-1 шагов исключения.

1 Шаг. Исключим неизвестное из уравнений с номерами i = 2,3,..m. Предположим, что . Будем называть его ведущим элементом 1-го шага.

Найдем величины , i=2,3,...m , называемые множителями 1-го шага. Вычтем последовательно из второго, третьего, ...m vго уравнений системы первое уравнение, умноженное соответственно на . В результате 1-го шага получим эквивалентную систему уравнений:

Аналогично проводятся остальные шаги. Опишем очередной k-ый шаг. Предположим, что ведущий элемент . Вычислим множители к-го шага:, i=k+1,...m и вычтем последовательно из (k+1)-го, ...m v го уравнений системы k-ое уравнение, умноженное соответственно на

.После (m-1)-го шага исключения получим систему уравнений

,

матрица которой является верхней треугольной. На этом вычисления прямого хода заканчиваются.

Обратный ход. Из последнего уравнения системы находим . Подставляя найденное значение в предпоследнее уравнение, получим . Далее последовательно находим неизвестные .

LU  разложение матрицы. Представим матрицу A в виде произведения нижней треугольной матрицы L и верхней треугольной U.

Введем в рассмотрение матрицы

и

Можно показать, что A = LU. Это и есть разложение матрицы на множители.

ПРИМЕР 4. Разложение матрицы A на множители.

ПРИМЕР 5. Решение системы уравнений с помощью LU - разложения матрицы.