Погрешности ~ Значащие и верные цифры
Погрешности арифметических действий ~ Погрешность функции

Пусть - точное значение,
            - приближенное значение некоторой величины.
Абсолютной погрешностью приближенного значения называется величина .

Относительной погрешностью значения (при 0) называется величина   .

Так как, значение как правило неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида:      .

Величины и называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.

ПРИМЕР 1. Абсолютная и относительная погрешности приближенного   числа  e.

Значащими цифрами числа    называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

ПРИМЕР 2. Значащие цифры числа.

Значащую цифру числа   называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.

ПРИМЕР 3. Верные цифры числа.

Для оценки погрешностей арифметических операций следует использовать следующие утверждения:

Абсолютная погрешность алгебраической суммы (суммы или разности ) не превосходит суммы абсолютной погрешности слагаемых, т.е.

Если а и b - ненулевые числа одного знака, то справедливы неравенства
,      ,
где ,    

Для относительных погрешностей произведения и частного приближенных чисел верны оценки:
если и , то   , .

ПРИМЕР 4. Погрешности арифметических действий.

Пусть - дифференцируемая в области G функция переменных, вычисление которой производится при приближенно заданных значениях аргументов   . Тогда для абсолютной погрешности функции справедлива следующая оценка
.

Здесь [x, x*] v отрезок, соединяющий точки x и x* =( )

Для относительной погрешности функции справедливо следующее приближенное равенство
, где

ПРИМЕР 5. Погрешность вычисления функции.