Математическое ожидание ~ Дисперсия ~ Моменты ~ Эксцесс ~ Среднее геометрическое и среднее гармоническое

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения. В то же время при решении практических задач достаточно знать несколько числовых параметров, которые позволяют представить основные особенности случайной величины в сжатой форме. К таким величинам относятся в первую очередь математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание случайной величины

Математическое ожидание — это число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины.

Если x — дискретная случайная величина с распределением

то ее математическим ожиданием (обозначается Mx) называется величина, вычисленная по формуле

,

если число значений случайной величины конечно, и по формуле

,

если число значений случайной величины счетно. При этом, если ряд в правой части последнего равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей px (x) вычисляется по формуле

.

При этом, если интеграл в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.

Если случайная величина h является функцией случайной величины x, h = f(x ), то

.

Аналогичные формулы справедливы для функций дискретной случайной величины:

, .

При вычислении математического ожидания случайной величины полезны следующие его свойства:

• математическое ожидание константы равно этой константе, Mc = c;

• математическое ожидание — линейная функция случайной величины, т.е. при произвольных постоянных a и bсправедливо: M(ax +bh ) = aMx + bMh;

• математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M(xh )=Mx Mh;

Ниже приведены значения математических ожиданий для наиболее распространенных распределений:

биномиальное распределение:

, ;

геометрическое распределение:

, ;

гипергеометрическое распределение:

, ;

пуассоновское распределение:

, .

pавномерное распределение:

,

экспоненциальное (показательное) распределение:

,

нормальное распределение:

, ;

распределение хи-квадрат (- распределение) с n степенями свободы:

,

где — гамма-функция Эйлера;

распределение Стьюдента с любым числом степеней свободы:

, ;

F-распределение Фишера с n и m степенями свободы:

, , , ;

распределение Парето имеет математическое ожидание только при r >1: ,

логистическое распределение:

, .

Дисперсия случайной величины

Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.

Если случайная величина x имеет математическое ожидание Mx, то дисперсией случайной величины x называется величина

.

Легко показать, что

.

Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина Mx² вычисляется по формулам ,

для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно.

Еще одним параметром для определения меры разброса значений случайной величины является среднеквадратичное отклонение s x , связанное с дисперсией соотношением .

Перечислим основные свойства дисперсии:

• дисперсия любой случайной величины неотрицательна, Dx >= 0;

• дисперсия константы равна нулю, Dc = 0;

• для произвольной константы D(cx ) = c²Dx ;

• дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, D(x ± h ) = Dx ± Dh .

Приведем выражения для дисперсий наиболее распространенных распределений:

биномиальное распределение: ;

геометрическое распределение: ;

гипергеометрическое распределение: ;

пуассоновское распределение: ;

pавномерное распределение: ;

экспоненциальное (показательное) распределение: ;

нормальное распределение : ;

распределение хи-квадрат (- распределение) с степенями свободы: ;

распределение Стьюдента с n степенями свободы, n > 2: ;

F-распределение Фишера с n и m>4 степенями свободы: ;

распределение Парето имеет дисперсию только при r > 2: ;

логистическое распределение: .

Пример 1. Случайная величина распределена равномерно на промежутке [0, 1]. Найдем математическое ожидание и дисперсию площади квадрата со стороной , т.е. характеристики случайной величины .

Моменты

В теории вероятностей и математической статистике, помимо математического ожидания и дисперсии, используются начальные и центральные моменты.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины x называется математическое ожидание k-й степени случайной величины x , т.е. .

Центральным моментом k-го порядка случайной величины x называется величина , определяемая формулой .

Заметим, что математическое ожидание случайной величины — начальный момент первого порядка, , а дисперсия — центральный момент второго порядка, .

Существуют формулы, позволяющие выразить центральные моменты случайной величины через ее начальные моменты. Одна из таких формул приведена выше: .

В дальнейшем будет использована формула

.

Нетрудно понять, что если плотность распределения вероятностей случайной величины симметрична относительно прямой x = Mx , то все ее центральные моменты нечетного порядка равны нулю.

В теории вероятностей и в математической статистике в качестве меры асимметрии распределения является коэффициент асимметрии, который определяется формулой

,

где — центральный момент третьего порядка, — среднеквадратичное отклонение.

Коэффициент асимметрии — безразмерная величина, а по его знаку можно судить о характере асимметрии.

Пример 2. Вычислим коэффициент асимметрии распределения Рэлея, плотность вероятностей которого и коэффициент асимметрии распределения с плотностью вероятностей .

Как видно из проведенных в примере вычислений, коэффициент асимметрии первого распределения положителен и у графика плотности вероятностей "круче левый склон". У второго распределения, наоборот, коэффициент асимметрии отрицателен и у графика плотности вероятностей "круче правый склон".

Эксцесс

Нормальное распределение наиболее часто используется в теории вероятностей и в математической статистике и поэтому график плотности вероятностей нормального распределения стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие распределения. Одним из параметров, определяющих отличие сравниваемого распределения от нормального, является эксцесс.

Эксцесс g случайной величины x определяется равенством .

У нормального распределения, естественно, g = 0 . Если , то это означает, что график плотности вероятностей "заострен" сильнее, чем у нормального распределения, если же , то "заостренность" графика меньше, чем у нормального распределения.

Пример 3. Вычислим эксцесс для двух случайных величин, первая имеет распределение Лапласа (плотность вероятностей ), а вторая распределена равномерно на отрезке [-2, 2]. Для сравнения вместе с графиками плотности вероятностей исследуемых случайных величин приведем график плотности вероятностей нормального распределения N(0, 1).

Из приведенных в примере 3 вычислений видно, что график плотности вероятностей распределения с отрицательным эксцессом имеет боле “сглаженный” максимум, чем у плотности вероятностей нормального распределения, а плотность вероятностей с отрицательным эксцессом, наоборот, "острее", чем плотность вероятностей нормального распределения.

Среднее геометрическое и среднее гармоническое случайных величин, принимающих только положительные значения

Среднее гармоническое и среднее геометрическое случайной величины — числовые характеристики, используемые в экономических вычислениях.

Средним гармоническим случайной величины, принимающей положительные значения, называется величина .

Например, для непрерывной случайной величины, распределенной равномерно на отрезке [a, b], 0 < a < b среднее гармоническое вычисляется следующим образом:

и .

Средним геометрическим случайной величины, принимающей положительные значения, называется величина .

Название "среднее геометрическое" происходит от выражения среднего геометрического дискретной случайной величины, имеющей равномерное распределение

Оно, среднее геометрическое, вычисляется следующим образом:

,

т.е. получилось традиционное определение среднего геометрического чисел .

Вычислим среднее геометрическое случайной величины, имеющей, например, показательное распределение с параметром l :

, ,

где — постоянная Эйлера,

Пример 4. Случайная величина x распределена равномерно на отрезке [2, 3]. Найдем для нее среднее гармоническое и среднее геометрическое.