Определение нуля ~ Нуль порядка n ~ Простой нуль ~ Необходимое и достаточное условия нуля порядка n ~ Порядок нуля произведения анал. функций

Пусть функция f (z) является аналитической в точке z₀. Точка z₀ называется нулем функции f (z), если ее значение в этой точке равно нулю, т.е.   f (z₀) = 0.
В разложении функции в ряд Тейлора в окрестности нуля этой функции (т. z₀) отсутствует свободный член:   С₀ = f(z₀) = 0.
Если при этом в разложении отсутствуют и слагаемые, содержащие степени разности (z-z₀) до n-ой степени, т.е. разложение имеет вид: или то точка z₀ называется нулем порядка n функции f(z).

Нуль первого порядка (n = 1) называется простым нулем.

Следующие условия являются необходимым и достаточным условиями нуля порядка n функции f (z) в точке z₀:
a).
b). представление функции в виде произведения:

Порядок нуля в точке z₀ функции, полученной в результате перемножения аналитических функций
f (z) = f₁(z) f₂(z) равен сумме порядков нуля (n₁ + n₂) в этой точке функций сомножителей
( n₁ - порядок нуля в точке z₀ функции f₁(z),    n₂ - порядок нуля в точке z₀ функции f₂(z) ).

ПРИМЕР 1. Определить порядок нуля в точке для функции f(z).

ПРИМЕР 2. Найти нули функции  f(z) и определить их порядок.

ПРИМЕР 3. Найти нули функции  f(z) и определить их порядок.

ПРИМЕР 4. Определить порядок нуля в точке для функции f(z).