Пример 1 ~ Пример 2 ~ Пример 3 ~ Пример 4

Пример 1. Определить порядок нуля z₀ для функции f (z) = e^z -1-z.

Решение.  Разложим функцию f (z) по степеням z:
e^z -1- z = (1 + z + z²/2! + z³/3! +...) - 1 - z = z²/2! + z³/3! +...
Так как в полученном разложении коэффициент С₂ = 1/2, т.е. не равен нулю, а предыдущие равны нулю С₀ = С₁ = 0, то заключаем, что точка z₀ = 0 является нулем порядка n = 2 для заданной функции.

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 2. Найти нули функции и определить их порядок:
f (z) = (z⁴+2z+1)²(z²-2z+2).

Решение.  Раскладываем f(z) (многочлен) на множители:
f (z) = (z-i)⁴(z+i)²(z-(1+i))(z-(1+i)).

Находим нули функции: z₁ = i, z₂ = -i, z₃ = 1+i, z₄ = 1-i.

Определяем порядок каждого нуля.

Для точки z₁ = i из равенства

получаем, что z₁ = i - нуль 4-го порядка.

Для точки z₂ = -i аналогично находим, что это нуль 4-го порядка:

Из равенства

получаем, что z₃ = 1+i - простой нуль.

Аналогично из

имеем  z₄ = 1-i  тоже простой нуль для f(z).

Уточним:

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 3. Найти нули функции и определить их порядок:
f (z) = 1+ch z.

Решение.  Решая уравнение 1+ch z = 0, имеем:

Находим производные заданной функции и их значения в точках z_k:
Так как
f (z_k) = f '(z_k) = 0 и то
является нулями второго порядка функции
f (z) = 1 + ch z.

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 4. Определить порядок нуля z₀ = 0 функции:
.

Решение.  Функция f (z) задана в виде произведения двух функций:
f (z) = f₁(z)f₂(z), где
Вычисляем порядок нуля в точке z₀ = 0 для третьего сомножителя f₁(z).
Записываем f₁(z) в виде:

Следовательно, z₀ = 0 является нулем 4-го порядка (n₁ = 4) для функции f₁(z).

Для функции f₂(z) = sin z точка z₀ = 0 - нуль первого порядка, т.к. sin'(0) = cos(0) = 1 (т.е. не равно нулю). Поэтому, учитывая, что  f₂(z) = sin⁵ z = sin z sinz sin z sin z sin z, получаем, что z₀ = 0 - нуль 5-го порядка (n₂ = 5) порядка для f₂(z).

Поскольку f (z) = f₁(z) f₂(z), то получаем, что точка z₀ = 0 является нулем 9-го порядка заданной функции, т.к. n = n₁ + n₂ = 4+5 = 9.

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica