Пример 1 ~ Пример 2.1 ~ Пример 2.2 ~ Пример 3.1 ~ Пример 3.2 ~  Пример 3.3

Пример 1. Вычислить интеграл:  

Положим z = e ^ix, тогда cos x = (z + z - 1)/2. Вычислим dz = d(e ^ix), откуда dx = (dz)/(iz), а исходный интеграл запишется в виде:

Так как при |a|<1, подинтегральная функция      внутри круга  
имеет один полюс первого порядка в точке z = a.
Поскольку  
будем иметь

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 2.1. Вычислить интеграл:  
Рассмотрим функцию  

Она является аналитической функцией, имеющей полюсы второго порядка в точках      и в бесконечности имеет нуль второго порядка.
Согласно формуле (1.1) имеем

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 2.2. Вычислить интеграл:  

Используя результаты вычисления интеграла в примере 2.1 (обозначив его как I₁), вычислим данный интеграл:  

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 3.1. Вычислить интеграл:  

Функция      в точке z, равной бесконечности, имеет нуль первого порядка и на действительной оси не имеет особых точек.

Особые точки функции z₁ = 1 + i,    z₂ = 1 - i.
Поскольку      вычисляем вычет в точке z₁ = (1 + i) - простом полюсе функции R(z) e^iz:

Для заданного интеграла по формуле (2.1) получаем результат

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 3.2. Вычислить интеграл:  

Так как      поэтому, используя результат примера 3.1, получаем:

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 3.3. Вычислить интеграл:  

Так как      то используя результат примера 3.1, получаем:

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica