Интегрирование рациональных функций ~ Интегрирование тригонометрических функций ~ Интегрирование иррациональных функций

Интегрирование рациональных функций - Функция называется рациональной, если она вычисляется с помощью четырех арифметических действий, то есть в общем случае является частным от деления двух многочленов: . Если , рациональная дробь называется правильной. Неопределенный интеграл от рациональной функции всегда можно вычислить. Для этого:

Если , выделяем целую часть рациональной дроби с помощью деления многочлена на многочлен. Правильную рациональную дробь (или правильный остаток от деления) раскладываем на простейшие дроби. Вид разложения определяется корнями многочлена   , а именно:

Каждому действительному корню кратности 1 в разложении соответствует член  .

Каждому действительному корню кратности в разложении соответствует набор из членов     .

Каждой паре комплексно сопряженных корней  кратности 1 в разложении соответствует член   ( - корни уравнения ).

Каждой паре комплексно сопряженных корней кратности в разложении соответствует набор из членов      .

В приведенных выражениях - неопределенные коэффициенты, которые можно найти, приводя разложение обратно к общему знаменателю , приравнивая полученные коэффициенты при степенях  к соответствующим коэффициентам и решая систему относительно .

Наконец, полученное разложение интегрируем почленно.

ПРИМЕР 1.  Интегрирование рациональных функций

Интегрирование тригонометрических функций - Интегралы вида , где - рациональная функция своих аргументов, вычисляются с помощью универсальной замены переменной  . При этом . Однако универсальная замена обычно связана с большими вычислениями, поэтому в некоторых случаях можно ее избежать.

Интегралы вида  вычисляются с помощью замены  . Интегралы вида  вычисляются с помощью замены  . Интегралы вида  , если , то есть четная рациональная функция своих аргументов вычисляются с помощью замены    .

Интегралы вида  вычисляются с помощью формул понижения степени  .

ПРИМЕР 2.  Интегрирование тригонометрических функций

Интегрирование иррациональных функций - Общий принцип интегрирования иррациональных выражений заключается в замене переменной, позволяющей избавиться от корней в подынтегральном выражении. Для некоторых классов функций эта цель достигается с помощью стандартных замен.

Интегралы вида , где - рациональная функция своих аргументов, вычисляются заменой .

Интегралы вида  вычисляются заменой или .

Интегралы вида  вычисляются заменой  или . Интегралы вида вычисляются заменой или .

ПРИМЕР 3.  Интегрирование иррациональных функций