Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису ~ Образ и ядро линейного оператора ~ Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Пусть заданы линейные пространства и . Правило, по которому  каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент , называется оператором, действующим в линейных пространствах . Результат  действия оператора на элемент обозначают или . Если элементы и связаны соотношением , то называют образом элемента ; элемент прообразом элемента .

Множество элементов линейного пространства , для которых определено действие оператора , называют областью определения оператора и обозначают .

Множество элементов линейного пространства , которые являются образами элементов из области определения  оператора , называют образом оператора и обозначают . Если , то .

Оператор , действующий в линейных пространствах называется линейным оператором, если и для любых и для любого числа .

Если пространства и совпадают, то говорят, что оператор действует в пространстве . В дальнейшем ограничимся рассмотрением линейных операторов, действующих в линейном пространстве .

Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису

Рассмотрим линейный оператор , действующий в конечномерном линейном пространстве , и пусть базис в . Обозначим через образы базисных векторов .

Матрица

столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n; и обратно каждая  квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения

с одной стороны, связывают координаты образа с координатами прообраза , с другой стороны,  описывают действие оператора, заданного матрицей .

При изменении базиса линейного пространства матрица оператора, очевидно, изменяется. Пусть в пространстве произошел переход от базиса к базису . Связь между матрицей оператора в базисе   и матрицей этого оператора в базисе задается формулой .

Здесь   матрица перехода от базиса к базису и обратная к ней.

ПРИМЕР 1. Матрица оператора в новом базисе.

Образ и ядро линейного оператора

Рассмотрим линейный оператор , действующий в конечномерном линейном пространстве . Доказано, что образ линейного оператора линейное пространство. Размерность образа линейного оператора называется рангом оператора, обозначается .

Ядром линейного оператора называется множество элементов из , образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают : . Ядро линейного оператора линейное пространство; размерность ядра линейного оператора называется дефектом оператора, обозначается : .

Для линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве , справедливы следующие утверждения:

сумма ранга и дефекта оператора равно размерности пространства, в котором действует оператор: ;

ранг оператора равен рангу его матрицы;

ядро оператора совпадает с множеством  решений линейной однородной системы с матрицей , размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;

столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.

Сформулированные утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора, заданного матрицей, используя язык матричных преобразований и общей теории линейных систем.

ПРИМЕР 2. Образ и ядро линейного оператора.

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Пусть линейный оператор, действующий в линейном пространстве.

Число называется собственным значением, а ненулевой вектор соответствующим собственным вектором линейного оператора , если они связаны между собой соотношением  .

Пусть матрица оператора в некотором базисе.

Собственные значения оператора и соответствующие им собственные векторы связаны соотношением , где   единичная матрица, а нулевой элемент пространства . Это означает, что собственный вектор оператора является ненулевым решением линейной однородной системы , которое существует тогда и только тогда, когда  . Следовательно,  собственные  значения  линейного оператора могут быть вычислены как корни уравнения , а собственные векторы -- как решения соответствующих однородных систем.

Уравнение называется характеристическим уравнением оператора, а многочлен характеристическим многочленом оператора.

Для собственных значений и собственных векторов линейного оператора справедливы следующие утверждения:

характеристический многочлен оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве является многочленом  n-й степени относительно ;

линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве имеет не более различных собственных значений;

собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы;

если линейный оператор, действующий в  n-мерном линейном пространстве , имеет различных собственных значений, то собственные векторы оператора образуют базис в пространстве ; этот базис называют собственным базисом оператора;

матрица оператора в базисе из его собственных векторов имеет диагональную форму с собственными значениями на диагонали.

ПРИМЕР 3. Собственные значения и собственные векторы оператора.