Линейное пространство. Основные понятия ~ Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в заданном базисе ~ Исследование линейной зависимости. Ранг матрицы ~ Ортонормированные базисы и ортогональные матрицы

Линейное пространство. Основные понятия

Пусть множество элементов произвольной природы, для которых определены операции сложения и умножения на действительное число:

паре элементов множества , отвечает элемент , называемый суммой и ;

паре , отвечает элемент , называемый произведением числа и элемента .

Будем называть множество линейным пространством, если для всех его элементов определены операции сложения и умножения на действительное число и для любых элементов и произвольных чисел справедливо:

1. , сложение коммутативно;
2. , сложение ассоциативно;
3. существует единственный нулевой элемент такой, что ,  ;
4. для каждого элемента существует единственный противоположный элемент такой, что ,
5. , умножение на число ассоциативно;
6. , ;
7. , умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;
8. , умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

Равенства 1--8 называют аксиомами линейного пространства.

Линейное пространство часто называют векторным пространством,  а его элементы -- векторами.

Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в заданном базисе

Говорят, что элемент (вектор) линейного пространства линейно выражается через элементы (векторы) , если его можно представить в виде линейной комбинации этих элементов, т.е. представить в виде .

Если любой вектор системы векторов линейного пространства линейно выражается через остальные векторы системы, то система векторов называется линейно зависимой.

Система векторов, которая  не является линейно зависимой, называется  линейно независимой.

Справедливо следующее утверждение.

Система векторов линейного пространства линейно независима тогда и только тогда, когда из равенства следует равенство нулю всех  коэффициентов .

Если в линейном пространстве существует линейно независимая система из векторов, а любая система из -го вектора линейно зависима, то число называется размерностью пространства и обозначается . В этом случае пространство называют -мерным линейным пространством или -мерным векторным пространством.

Любая упорядоченная линейно независимая система векторов линейного пространства образует базис пространства и любой вектор единственным образом выражается через векторы базиса: .

Числа называют координатами вектора в базисе и обозначают . При этом для любых двух произвольных векторов -мерного линейного пространства , и произвольного числа справедливо:   и  .

Это означает, что все  -мерные линейные пространства “устроены” одинаково -- как пространство векторов-столбцов из действительных чисел, т.е. что все они изоморфны пространству .

Линейные пространства и называются  изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что если векторам и из соответствуют векторы и из , то вектору соответствует вектор и при любом вектору соответствует вектор .

Изоморфизм -мерных линейных пространств пространству означает, что соотношения между элементами -мерного линейного пространства и операции с ними можно изучать как соотношения между векторами из и операции с ними и что всякое утверждение относительно векторов из справедливо для соответствующих элементов любого -мерного линейного пространства.

Например, доказано, что система векторов   из  

, ,...,

образует базис в тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель матрицы, со столбцами :

Для векторов из это означает, что они образуют базис в тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель матрицы, столбцами которой являются компоненты векторов .

Пусть и -- два базиса в . Матрицей перехода от базиса к базису называется матрица , столбцами которой являются координаты векторов в базисе :

...	...

    ,

Вектор линейно выражается через векторы обоих базисов. Тогда, если , то координаты  вектора в базисе , и его координаты  в базисе связаны соотношениями

ПРИМЕР 1. Нахождение координат вектора в новом базисе.

Исследование линейной зависимости. Ранг матрицы

Пусть -- прямоугольная матрица размерности :

Столбцы матрицы можно рассматривать как векторы из :

, ,  

и исследовать их на линейную зависимость. Исследовать систему векторов на линейную зависимость -- это значит установить является система векторов линейно зависимой или нет.

Доказано, что ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы. Это утверждение позволяет исследовать систему векторов на линейную зависимость следующим образом.

Пусть -- исследуемая система векторов. Запишем матрицу , столбцами которой являются векторы : , , и вычислим ее ранг . Если , то исследуемая система векторов линейно независима, если же , то она линейно зависима.

Более того, если матрица приведена к ступенчатому виду элементарными операциями со строками

то векторы-столбцы  , входящие в базисный минор, образуют линейно независимую подсистему, а векторы   следующим образом линейно выражаются через базисные векторы:

...

ПРИМЕР 2. Исследование на линейную зависимость систем векторов. Выделение линейно независимой подсистемы векторов.

Ортонормированные базисы и ортогональные матрицы

Линейное пространство называется евклидовым, если каждой паре векторов , из этого пространства поставлено в соответствие действительное число , называемое скалярным произведением, и при этом для любых из и любого действительного числа справедливы следующие равенства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. при , ,   -- нулевой вектор.

Число называется длиной вектора ;  число -- расстоянием между векторами ; угол ,  косинус которого , -- углом между векторами ,  ,  , .

Векторы  ,   из евклидова пространства называются ортогональными, если .

Система векторов евклидова пространства называется ортонормированной, если векторы системы попарно ортогональны и имеют единичную длину.

Базис конечномерного евклидова пространства называется ортонормированным базисом, если образующие его векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину. Поскольку доказано, что в любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, будем рассматривать в -мерном евклидовом пространстве только ортонормированные базисы.

Простейший пример евклидова пространства дает нам пространство -- пространство  столбцов, в котором скалярное произведение введено формулой .

Тогда для любых , из справедливы формулы:

Все евклидовы пространства размерности устроены так же, как пространство .

Величины , и характеризуют взаимное расположение векторов и не зависят от выбранного ортонормированного базиса.
Если   и -- два ортонормированных базиса в -мерном евклидовом пространстве, то матрица перехода от одного из этих базисов к другому -- ортогональная матрица.

ПРИМЕР 3. Скалярное произведение векторов, норма вектора, угол между векторами.