В начало

Электротехническая модель

Можно показать, что для определения зависимости силы тока в проводнике I от напряжения на его концах U можно пользоваться законом Ома. Для этого воспользуемся (5.1), спроецировав его предварительно на направление проводника s, выразив через него E_s , умножив обе части полученного равенства на площадь проводника pd²/4 (без нарушения общности ее можно считать постоянной по длине) и проинтегрировав по длине проводника l с учетом условия неразрывности j_s(x)=const:

(8)

где R- полное сопротивление проводника. Последний интеграл в (8) равен нулю, если температуры обоих концов проводника равны.

Записав уравнение второго правила Кирхгофа для цепи на рис.1, получим:

(9)

Здесь - активное сопротивление в цепи, неизменное в течение процесса; - сопротивление проволоки с учетом нагрева (R₀ - начальное сопротивление проволоки).

Математическая модель

Для численного решения уравнения и граничные условия (7),(9) приводятся к безразмерному виду. Помимо безразмерной величины q вводятся c =x/l ; t=t/t_x , где t_x=L/R_S (постоянная времени переходного процесса в R-L цепи); ток i=I/I_x ,где I_x=E_в/R_S ( установившийся ток в цепи без учета сопротивления проволоки R_пр). Все функции от температуры в (7),(9) (теплоемкость, теплопроводность и т.д.) записываются в виде , где f₀=f(T₀), - некоторая безразмерная функция. Получаем:

(10.1)

(10.2); (10.3)

Здесь ,, , , , , q_з =T_з/T₀ .

Для решения используется чисто неявная линейная схема [10 , стр. 281]:

(11.1)

(11.2) , (11.3)

, i⁰=0 (11.4)

Здесь - искомая сеточная функция, описывающая распределение температуры, n-индекс временного слоя , j - индекс по координате; - шаг сетки по времени, h - по координате, , , , , , , N - число шагов по координате (h^.N=1). Канонический вид системы (11.1)-(11.3) на n+1 временном слое:

(12.1)

(12.2)

Здесь , , , . На каждом временном слое, начиная с нулевого ( начальное условие ), сначала из (11.4) определяется iⁿ⁺¹ затем (12) решается относительно uⁿ⁺¹ методом прогонки (см. напр. [1 , стр. 161] ).

Все численные расчеты и аппроксимация табличных данных выполнены при помощи пакета MathCad 7.0 Pro.[2].

Наверх

В начало