2. СИНТЕЗ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

2.1 Построение дискретной стохастической модели объекта

Полученная в пункте 1.3.1 динамическая линейная модель не учитывает множества факторов производства, хранения и сбыта товара. Возместим это, введя белый гауссовский шум. В результате получим уравнение, описывающее линейный объект в виде:

(2.1.1)

где внешние возмущения q(t) являются последовательностями белых гауссовских шумов с характеристиками:

(2.1.2)

и матрицей влияний , значения которой получены экспериментально.

Заметим, что модель (1.3.3) сформулирована в терминах дифференциальных уравнений лишь исходя из удобства теоретического анализа и простоты записи. Для экономической системы более адекватным является описание в терминах уравнений дискретного времени, когда время меняется с интервалом равным расчётному периоду (день, неделя, декада, месяц, зависимости от типа товара). Такая модель может быть получена из (1.3.3) формальным процессом дискретизации, т.е. заменой производных dZ/dt и dV/dt на отношение конечных разностей Z/t и V/t, но может быть сформулирована и непосредственно в дискретном времени.

Построение дискретной модели, эквивалентной непрерывной вида (2.1.1) будем осуществлять в предположении, что шаг дискретизации является постоянным и совпадает с периодом квантования управляющего сигнала, а момент дискретизации - с моментом приложения управляющих воздействий (- момент квантования).

Причём управление является кусочно-постоянным на каждом интервале управляющих воздействий, т.е. .

Тогда можно ограничится описанием поведения объекта в моменты квантования и, использовав для этого разностные уравнения, записать дискретный аналог для системы:

(2.1.3)

где - фундаментальная матрица решений соответствующей однородной системы.

Фундаментальную матрицу, по её свойству, можно представить в виде:

(2.1.4)

а матричную экспоненту, в свою очередь - в виде ряда:

(2.1.5)

Вычислив интеграл по формуле правых прямоугольников, запишем дискретную систему в разностной форме:

(2.1.6)

где соответствует моменту времени , матрицы A(k) и B(k) имеют вид:

(2.1.7)

Использование представления матричной экспоненты в виде ряда (2.1.5) позволяет достаточно легко регулировать точность квантования непрерывной информации на ЭВМ, которую можно определять точностью вычисления фундаментальной матрицы системы:

(2.1.8)

дискретный аналог которой имеет вид:

(2.1.9)

где .

Если обозначить через сумму первых членов ряда (1.2.5), то матрица аппроксимирует с погрешностью порядка . При этом число слагаемых в можно задавать заранее (вычисление с фиксированной точностью) или определять автоматически с помощью соотношения:

(2.1.10)

где выбирается из условия обеспечения максимальной точности вычислений на ЭВМ конкретного типа.

В частном случае при N = 1 получаем решение системы дифференциальных уравнений (2.1.1) методом Эйлера, а при N = 4 - методом Рунге-Кутта.

Для соответствия модели (2.1.1) модели (1.3.2.1) к последней добавлено слагаемое F(k) q(k), где F(k) рассчитывается по (2.1.7); внешние возмущения q(k) являются последовательностями дискретных белых гауссовских шумов с характеристиками:

(2.1.11)

Полученная дискретная модель будет использоваться при численном моделировании.

2.2 Описание канала измерений

Измерение состояния модели объекта осуществляется в дискретные моменты времени измерительным комплексом типа:

(2.2.2)

где - n - мерный вектор измерений, - n - мерный вектор состояния, H - матрица
канала измерений, заданная следующим образом:

, если i-тая компонента вектора состояния измеряема;

, в противном случае;

, если , где ;

- последовательность гауссовских шумов с характеристиками:

(2.2.2)

2.3 Оценивание состояния фильтром Калмана

Для учёта погрешности измерения, погрешности моделирования вектора состояния и влияния на систему случайных факторов воспользуемся дискретным фильтром Калмана для оценки вектора состояния.

Текущие значения оценок вектора состояния определяются по итерационному правилу:

(2.3.2)

где y(.) - канал измерений (2.2.1), H - матрица канал измерений, I - единичная матрица соответствующей размерности, - матрица ковариаций начального вектора состояния.

Модель является стохастической, и не все компоненты вектора состояний могут быть измерены. Например: V-количество товара у потребителей, скорее всего, нужно считать неизмеряемой величиной. Остальные компоненты вектора состояний измеряются с некоторой погрешностью, поэтому оценим значения вектора состояний фильтром Калмана. Для этого введём стохастический канал измерений, вида:

где ,

r(t) - погрешность измерений, которую будем описывать белыми гауссовскими шумами. H- матрица вида:

, если Z (количество товара на рынке) - неизмеряемая величина;

, если V (количество товара у потребителей) - неизмеряемая величина;

, если Z и V - неимеряемые величины.

В результате оценки вектора состояний фильтром Калмана получим, что оценка практически полностью совпадает со значениями вектора состояний полученными в результате моделирования.