К содержанию

Решение систем нелинейных уравнений методом простых итераций

> restart;

> epsilon:=0.00001; Задаем точность вычисления.

> with(linalg): Активизируем пакет линейной алгебры.

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected
 

Задаем систему уравнений.

> eqn1:=cos(y+0.5)-x=2; eqn2:= sin(x)-2*y=1;

> eqn11:=x=cos(y+0.5)-2; eqn22:= y= (sin(x)-1)/2;

Рисуем график для определения первого приближения.

> plot({cos(y+0.5)-2,arcsin(2*y+1)},y=-1..-0.9);

Задаем нулевое приближение.

> x0:=-1.; y0:=-0.9;

Задаем матрицы и функции.

> X:=matrix(2,1,[x,y]);

> x:=y-> cos(y+.5)-2; y:=x->1/2*sin(x)-1/2;

Задаем матрицу F (x) :

> Phi:=matrix(2,1,[x(y),y(x)]);

Задаем матрицу Якоби:

> J:=matrix(2,2,[diff(Phi[1,1],x),diff(Phi[1,1],y),diff(Phi[2,1],x),diff(Phi[2,1],y)]);

Задаем ф-ию для проверки условия сходимости метода:

> JJ:= (u,t)->sqrt((-sin(t+.5))^2+(1/2*cos(u))^2);

Условие сходимости метода:

> JJ(x0,y0)<1;

Матрица X0 :

> X0:=matrix(2,1,[x0,y0]);

> X1:=matrix(2,1,[x(y),y(x)]);

Задаем любое p> e :

> p:=10000*epsilon;k:=0;

Задаем цикл для вычисления корней с заданной точностью:

> while p>epsilon do k:=k+1; X0:=matrix(2,1,[x0,y0]); X1:= matrix(2,1,[x(y0),y(x0)]); p:=abs(norm(evalm(X1-X0)));print(______________________СЛЕДУЮЩАЯ_ИТЕРАЦИЯ_____________________); x0:=X1[1,1]; y0:=X1[2,1];end;

>

...

где p - погрешность вычисления на каждой итерации в цикле (по нему выполняется условие остановки цикла)!

> solve({eqn1,eqn2},{x,y}); Находим корни системы средствами Maple

Проверяем

> is(abs(-1.097394140-x0)<epsilon);

> is(abs(-.9450111638-y0)<epsilon);

Заданная точность достигнута на 9-ой итерации.

Наверх

К содержанию