Здесь Fx (x) — известная функция распределения случайной величины , а символом [f(x)]^-1 обозначена функция, обратная к функции f(x).

Плотность распределения случайной величины h для дифференцируемой f(x) находится по формуле

.

Пример 1. Найдем плотность вероятностей случайной величины h = ex , где — случайная величина, распределенная по стандартному нормальному закону.

В теории вероятностей часто возникает необходимость в определении плотности вероятности суммы двух независимых случайных величин. Доказано, что если ₁ и ₂ —независимые непрерывные случайные величины с плотностями вероятности соответственно p₁(x) и p₂(x), то плотность вероятностей суммы h = ₁ + ₂ — свертка плотностей вероятностей слагаемых, т.е. вычисляется по формуле:

.

Пример 2. Найдем плотность вероятности суммы двух стандартных нормальных распределений случайных величин h = ₁ + ₂ и h = ₁ + ₁ = 2₁ , где ₁ и ₂ — независимые случайные величины со стандартным нормальным распределением.

Пример 3. Найдем распределение произведения компонент двумерного дискретного случайного вектора с по известным распределениям его компонент.

Замечание. Вычисления в примере 3 проще произвести на бумаге. Использовать компьютер бессмысленно.

Пусть (, h ) — дискретный случайный вектор с распределением:

Найдем распределение случайной величины z = h.

Очевидно, что случайная величина z = h принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8.

Вычислим соответствующие вероятности:

и т.д.

В результате получим распределение случайной величины :