Понятие случайного вектора ~ Функция распределения случайного вектора ~ Плотность совместного распределения ~ Совместное распределение дискретных величин

Понятие случайного вектора.

В одном и том же случайном эксперименте можно рассматривать не одну, а несколько - n функций, аргументом которых являются случайные события. Совокупность таких функций называется многомерной случайной величиной или случайным вектором и обозначается

.

Функцией распределения случайного вектора или совместным распределением случайных величин x ₁, x ₂, …, x _n называется вероятность

где .

По многомерной функции можно найти распределение каждой из компонент x ₁, x ₂, …, x _n. Например, если - двумерная случайная величина, имеющая совместное распределение F_{x 1}, _{x 2} (x₁, x₂), то функции распределения компонент F_{x 1} (x₁) и F _{x 2}(x₂) вычисляются по формулам

В дальнейшем будем рассматривать только двумерные случайные величины.

Плотность совместного распределения Случайный вектор называется непрерывным случайным вектором, если существует такая неотрицательная функция , что для любого прямоугольника W на плоскости (x₁, x₂), вероятность события равна

.

Функция в этом случае называется совместной плотностью распределения.

Легко показать, что

.

Плотности вероятностей компонент случайного вектора вычисляются по формулам , .

ПРИМЕР 1. Распределение координат непрерывного случайного вектора.

Совместное распределение дискретных величин

Если (x , h ) - дискретный случайный вектор, то совместным распределением случайных величин x и h чаще всего называют таблицу вида

где x_i и y_j - значения x и h соответственно,

и .

По этой таблице можно найти распределение каждой из случайных величин x и h по формулам:

,.

ПРИМЕР 2. Распределение координат дискретного случайного вектора.