Ковариация ~ Корреляция

Ковариация

Если между случайными величинами и существует стохастическая связь, то одним из параметров, характеризующих меру этой связи является ковариация . Ковариацию вычисляют по формулам

.

Если случайные величины и независимы, то .

Обратное, вообще говоря, неверно. Из равенства нулю ковариации не следует независимость случайных величин. Случайные величины могут быть зависимыми в то время как их ковариация — нулевая!

Но зато, если ковариация случайных величин отлична от нуля, то между ними существует стохастическая связь, мерой которой и является величина ковариации.

Интересно отметить, что и .

Кроме того, важны следующие свойства ковариации:

;

;

.

.

Эта матрица симметрична и положительно определена. Ее определитель называется обобщенной дисперсией и может служить мерой рассеяния системы случайных величин .

Как уже отмечалось ранее, дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .

Если же случайные величины зависимы, то

.

Пример 1. Вычислим ковариации компонент дискретного случайного вектора , заданного распределением

Корреляция

Понятно, что значение ковариации зависит не только от “тесноты” связи случайных величин, но и от самих значений этих величин, например, от единиц измерения этих значений.

Для исключения этой зависимости вместо ковариации используется коэффициент корреляции .

Этот коэффициент обладает следующими свойствами:

он безразмерен;

его модуль не превосходит единицы, т.е. ;

если и независимы, то (обратное, вообще говоря неверно!);

если , то случайные величины и связаны функциональной зависимостью вида , где и — некоторые числовые коэффициенты;

;

Корреляционной матрицей случайного вектора называется матрица

.

Если и , то ковариационная и корреляционная матрицы случайного вектора связаны соотношением

,

где .

Пример 2. Вычислим корреляционную матрицу дискретного случайного вектора из примера 1.