Математическое ожидание ~ Дисперсия ~ Условное математическое ожидание

Математическое ожидание

Пусть — двумерная случайная величина, тогда , т.е. математическое ожидание случайного вектора — это вектор из математических ожиданий компонент вектора.

Если — дискретный случайный вектор с распределением

			...
			...
			...
...	...	...	...	...
			...

то математические ожидания компонент вычисляются по формулам:

, .

Эти формулы можно записать в сокращенном виде. Обозначим

и ,

тогда

и .

Эти формулы естественно обобщаются на непрерывный случай.

Если — совместная плотность распределения двумерной случайной величины , то

и .

Поскольку

и — не что иное как плотность распределения случайной величины, то и, аналогично, .

Пример 1. Вычислим математическое ожидание дискретного двумерного случайного вектора с распределением

Дисперсия

Понятие дисперсии нетривиальным образом обобщается на многомерные случайные величины. Это обобщение будет сделано в следующем разделе. Здесь лишь приведем формулы для вычисления дисперсии компонент двумерного случайного вектора.

Если — двумерная случайная величина, то

, .

Входящие в эту формулу математические ожидания вычисляются по приведенным выше формулам.

Пример 2. Вычислим дисперсию двумерного случайного вектора, определенного в примере 1.

Условное математическое ожидание

Между случайными величинами может существовать функциональная зависимость. Например, если — случайная величина и , то — тоже случайная величина, связанная с функциональной зависимостью. В то же время между случайными величинами может существовать зависимость другого рода, называемая стохастической. В разделе, посвященном условным распределениям уже обсуждалась такая зависимость. Из рассмотренных там примеров ясно видно, что информация о значении одной случайной величины (одной компоненты случайного вектора) изменяет распределение другой случайной величины (другой компоненты случайного вектора), а это может, вообще говоря, изменить и числовые характеристики случайных величин.

Математическое ожидание, вычисленной по условному распределению, называется условным математическим ожиданием.

Для двумерного дискретного случайного вектора с распределением

			...
			...
			...
...	...	...	...	...
			...

условное математическое ожидание случайной величины при условии, что случайная величина принимает значение , вычисляется по формуле

.

Аналогично, условное математическое ожидание случайной величины при условии, что случайная величина принимает значение , равно

.

Пример 3. Вычислим математические ожидания и условные математические ожидания компонент случайного вектора , заданного распределением,

Видно, что условное математическое ожидание случайной величины является функцией значений случайной величины , т.е.

и, совершенно аналогично,

.

Функцию называют регрессией случайной величины на случайную величину , а — регрессией случайной величины на случайную величину.

Формулы условных математических ожиданий для дискретных случайных величин естественным образом обобщаются на непрерывные случайные величины.

Если совместная плотность вероятностей двумерной случайной величины , то

и .

Рассмотрим непрерывный случайный вектор с плотностью распределения

Нетрудно проверить, что .

Найдем распределения компонент случайного вектора и их математические ожидания и условные математические ожидания:

,

,

, ,

, , .

В этом случае регрессия на равна нулю, а регрессия на описывается уравнением

.