Криволинейный интеграл в векторном поле ~ Циркуляция векторного поля

Криволинейный интеграл в векторном поле. Пусть заданы некоторое векторное поле и кривая АВ (А - начальная точка, В - конечная). Криволинейный интеграл в векторном поле    есть скаляр, полученный следующим образом:

Разобьем кривую точками А=А₀, А₁, А₂-А_n=В на n частей, приближенно изображаемых векторами  (разбиение ).

Обозначим  .

На границе или внутри каждой элементарной дуги А_i-1A_i выберем точку, которой соответствует радиус-вектор  и составим интегральную сумму   .

Если существует     и он не зависит от разбиения  и выбора точек, то этот предел называется криволинейным интегралом в векторном поле. В декартовой системе координат: , где - компоненты векторного поля.

Если кривая задана в параметрической форме:
, то вычисление криволинейного интеграла сводится к определенному интегралу:
. Используя определение и формулу для вычисления нетрудно получить свойства криволинейного интеграла:

Подчеркнем, что, в отличие от криволинейного интеграла по длине дуги, криволинейный интеграл в векторном поле меняет знак при изменении направления интегрирования.

Если  векторное поле, описывающее физическое силовое поле, то криволинейный интеграл выражает работу, которую совершает  сила при переносе материальной точки из пункта А в пункт В вдоль кривой АВ.

ПРИМЕР 1.  Вычисление криволинейного интеграла в векторном поле.

Циркуляция векторного поля. Важной характеристикой векторного поля является циркуляция векторного поля, которая равна криволинейному интегралу по замкнутой кривой в области поля, или, как говорят, по замкнутому контуру:   . Циркуляция векторного поля является скалярной величиной и характеризует вихревые свойства поля. Если в некоторой области поля циркуляция равна нулю, то поле называют безвихревым.

ПРИМЕР 2.  Вычисление циркуляции векторного поля.