Скалярное поле ~ Поверхности и линии уровня ~ Производная по направлению и градиент скалярного поля

Скалярное поле. Если каждой точке пространства ставится в соответствие скалярная величина , то возникает скалярное поле (например, поле температуры, поле электрического потенциала). Если введены декартовы координаты, то обозначают также

 или     . Поле может быть плоским, если   , центральным (сферическим), если   , цилиндрическим, если .

Поверхности и линии уровня. Свойства скалярных полей можно наглядно изучать с помощью поверхностей уровня. Это поверхности в пространстве, на которых  принимает постоянное значение. Их уравнение:  . В плоском скалярном поле линиями уровня называют кривые, на которых поле принимает постоянное значение:   . В отдельных случаях линии уровня могут вырождаться в точки, а поверхности уровня в точки и кривые.

ПРИМЕР 1.  Исследование скалярного поля с помощью линий уровня.

Производная по направлению и градиент скалярного поля. Пусть   - единичный вектор с координатами  ,  - скалярное поле. Производная по направлению характеризует изменение поля в данном направлении и вычисляется по формуле  . Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора  и вектора с координатами  , который называется градиентом функции  и обозначается  . Поскольку  , где  - угол между  и  , то вектор указывает   направление скорейшего возрастания поля , а его модуль равен производной по этому направлению. Так как компоненты градиента являются частными производными, нетрудно получить следующие свойства градиента:

ПРИМЕР 2.  Вычисление производной по направлению скалярного поля.

ПРИМЕР 3.  Вычисление градиента скалярного поля.