Криволинейный интеграл 1-го рода ~ Свойства и вычисление криволинейного интеграла по длине дуги

Криволинейный интеграл 1-го рода. Пусть - отрезок кусочно-гладкой кривой с началом в точке и концом в точке и - ограниченная функция, определенная в некоторой области, содержащей кривую . Выберем на кривой произвольные точки , разбивая ее на элементарные отрезки (разбиение ), длина каждого  . Обозначим . Пусть - произвольная точка на элементарном отрезке . Составим интегральную сумму . Если независимо от разбиения и выбора точек существует   , то он называется криволинейным интегралом по длине кривой (1-го рода) и обозначается  . Аналогично определяется криволинейный интеграл 1-го рода     от функции трех переменных   по отрезку пространственной кривой.

Свойства и вычисление криволинейного интеграла по длине дуги. Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой , то есть. Это единственное свойство, которое не совпадает с обычными свойствами интегралов, определеямых через предел интегральной суммы. Если - отрезок кусочно-гладкой кривой, заданной параметрически:
, то криволинейный интеграл вычисляется по формуле:
. Если плоская кривая задана в явном виде, то криволинейный интеграл вычисляется по формуле: .

ПРИМЕР 1.  Вычисление длины дуги кривой.

ПРИМЕР 2.  Вычисление криволинейного интеграла по кривой, заданной в параметрической форме.

ПРИМЕР 3.  Вычисление криволинейного интеграла по кривой, заданной в декартовых координатах.

ПРИМЕР 4.  Вычисление криволинейного интеграла по кривой, заданной в полярных координатах.