Тройной интеграл в цилиндрических координатах ~ Тройной интеграл в сферических координатах

Тройной интеграл в цилиндрических координатах. Введем в пространстве цилиндрические координаты. Для этого на плоскости используем полярные координаты, а третья координата произвольной точки остается . Учитывая связь полярных координат с декартовыми, получим выражение декартовых координат через цилиндрические:  . Тогда  и тройной интеграл в цилиндрических координатах вычисляется по формуле: . Элемент объема в цилиндрической системе координат есть  .

ПРИМЕР 1.  Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.

Тройной интеграл в сферических координатах. Введем в пространстве сферическую систему координат. Для этого рассмотрим произвольную точку  в декартовой системе координат. Спроектируем ее на плоскость , получив точку  . Положение точки в пространстве будем характеризовать ее расстоянием от начала координат , углом между отрезком и положительной полуосью , углом между отрезком и положительной полуосью . Декартовы координаты точки выражаются через сферические по формулам: . В этом случае    . Тогда тройной интеграл в сферических координатах вычисляется по формуле:

.

Элемент объема в сферической системе координат есть  .

ПРИМЕР 2.  Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.