Замена переменных в двойном интеграле ~ Замена переменных в тройном интеграле ~ Двойной интеграл в полярных координатах

Замена переменных в двойном интеграле. Пусть функции взаимно однозначно отображают открытое множество, содержащее область плоскости на открытое множество, содержащее область , и пусть является образом . Если и их частные производные непрерывны, а определитель   , то . Выражение  называется элементом площади в криволинейных координатах, функциональный определитель - якобианом.

ПРИМЕР 1.  Вычисление якобиана для полярных и обобщенных полярных координат.

Вычисление площади.

Замена переменных в тройном интеграле. Пусть посредством функций производится взаимно однозначное отображение открытого множества, содержащего область пространства на открытое множество, содержащее область пространства и  есть образ . Если эти три функции непрерывны вместе со своими первыми частными производными в области и якобиан , то . Выражение называется элементом объема в криволинейных координатах .

ПРИМЕР 2.  Вычисление якобиана для цилиндрических и сферических координат.

Вычисление объема.

Двойной интеграл в полярных координатах. Введем на плоскости полярные координаты. Пусть - область, полученная взаимно однозначным отображением области плоскости , определяемым функциями . Тогда , а двойной интеграл в полярных координатах вычисляется по формуле: .Элемент площади в полярных координатах есть .

ПРИМЕР 3.  Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.