Двойной интеграл в декартовых координатах ~Свойства двойного интеграла ~ Вычисление двойного интеграла ~ Тройной интеграл и его свойства ~ Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Двойной интеграл в декартовых координатах. Пусть  ограниченная замкнутая область плоскости с кусочно-гладкой границей и пусть функция определена и ограничена на  . Посредством сетки кусочно-гладких кривых разобьем на конечное число элементарных областей с площадями (разбиение ). Пусть - наибольший из диаметров областей , получающийся при разбиении . В каждой из элементарных областей выберем произвольную точку . Число   называется интегральной суммой и ставится в соответствие каждому разбиению и каждому выбору точек . Если существует   и он не зависит от выбора разбиения  и точек , то функция называется интегрируемой по Риману в области , а сам предел называется двойным интегралом от функции  по области и обозначается    или   . Двойной интеграл существует, если  непрерывна на . Допустимы точки разрыва первого рода, лежащие на конечном числе гладких кривых в .

Свойства двойного интеграла. Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла:

Линейность:  
. Аддитивность:
, если S1 и S2 две области без общих внутренних точек.

Если для каждой точки  выполнено неравенство  , то .

Если  интегрируема на , то функция   также интегрируема, причем .

Если  и  наименьшее и наибольшее значения функции в области, а ее  площадь, то .

Теорема о среднем значении: если  непрерывна в связной области , то существует, по крайней мере, одна точка такая, что   .

Вычисление двойного интеграла.

Если  , где -   непрерывные на функции, то двойной интеграл может быть вычислен двумя последовательными интегрированиями: . Аналогично, если , то     .

ПРИМЕР 1.  Вычисление    двойного интеграла по прямоугольной области.

ПРИМЕР 2.  Вычисление двойного интеграла по области, ограниченной сверху и снизу гладкими кривыми.

ПРИМЕР 3.  Вычисление двойного интеграла по произвольной области.

Тройной интеграл и его свойства. Пусть - ограниченная замкнутая пространственная область, границей которой является кусочно-гладкая поверхность, и пусть функция  определена и ограничена в  . Посредством сетки кусочно-гладких поверхностей разобьем на конечное число элементарных областей   с объемами (разбиение). Пусть . наибольший из диаметров областей  , получающийся при разбиении . В каждой из элементарных областей выберем произвольную точку . Число ставится в соответствие каждому разбиению  и каждому выбору точек и называется интегральной суммой. Если существует   и он не зависит от выбора разбиения и точек, то функция называется интегрируемой по Риману в области  , а сам предел называется тройным интегралом от функции   по области  и обозначается  . Свойства тройных интегралов такие же, как и у двойных интегралов.

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах. Пусть  является цилиндрическим телом, проекция которого на плоскость  есть область и которое ограничено снизу поверхностью , а сверху v поверхностью , где   - непрерывные функции в . Тогда , то есть интегрированием по z тройной интеграл сводится к двойному интегралу по области . Для областей более сложной формы вычисление двойных и тройных интегралов производится разбиением областей на конечное число простых областей с уже рассмотренными свойствами.

ПРИМЕР 4.  Вычисление тройного интеграла по прямоугольному параллелепипеду.

ПРИМЕР 5.  Вычисление тройного интеграла по произвольной области.