Условные экстремумы ~ Метод множителей Лагранжа ~ Наибольшее и наименьшее значение функции в области

Условные экстремумы. Пусть функция  определена в некоторой области  и в этой области задана кривая уравнением . Условным экстремумом функции двух переменных называют ее экстремум при условии, что точки берутся на заданной кривой. Если из уравнения кривой можно, например, выразить , то задача о нахождении условного экстремума сводится к исследованию на экстремум функции одной переменной .

ПРИМЕР 1.  Нахождение условного экстремума функции двух и трех переменных.

Метод множителей Лагранжа. Если уравнение не разрешимо ни относительно  , ни относительно , то рассматривают функцию Лагранжа. Необходимым условием существования условного экстремума функции при условии является равенство нулю всех частных производных функции Лагранжа:  .

ПРИМЕР 2.  Нахождение условного экстремума функции двух переменных методом Лагранжа.

Наибольшее и наименьшее значение функции в области. Поскольку функция  , непрерывная в ограниченной замкнутой области достигает в ней своего наибольшего и наименьшего значений, задача об их нахождении разделяется на две части: найти экстремумы функции двух переменных внутри области, найти ее условные экстремумы на границе области, при условии, что граница задана уравнением .

ПРИМЕР 3.  Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных.