Локальные экстремумы ~ Исследование на экстремум функции двух переменных

Локальные экстремумы. Точка  называется точкой локального минимума (максимума) функции , определенной в области , если существует окрестность этой точки, такая, что   для всех точек этой окрестности, отличных от . Такие экстремумы (максимумы и минимумы) называются нестрогими. Строгие экстремумы имеют место в случае, когда выполнены строгие неравенства.

ПРИМЕР 1.  Исследование на экстремум по определению.

Исследование на экстремум функции двух переменных. Обозначим через приращение функции  в точке  . Если - точка локального минимума функции  , то существует окрестность  , в которой  (обратное неравенство в случае максимума). Из формулы Тейлора первого порядка  следует, что приращение  дважды непрерывно дифференцируемой функции   может сохранять знак, если главная линейная часть приращения функции в точке экстремума (максимума или минимума) равна нулю, т.е. выполнено необходимое условие экстремума: если точка  - точка экстремума, то   . Такая точка называется стационарной точкой функции. Приращение функции в стационарной точке имеет вид . Обозначим . Справедливо следующее достаточное условие экстремума. Пусть функция   дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки  и  . Если  , то в точке  функция достигает экстремума. Если при этом , то этот экстремум v минимум, при - максимум. Если же   , то в точке  экстремума нет. Геометрически достаточное условие означает, что в окрестности экстремума график функции  близок к поверхности . Если   , то для определения знака приращения  необходимо изучить члены формулы Тейлора более высокого порядка.

ПРИМЕР 2.  Исследование на экстремум функции двух переменных.