Формулы Тейлора и Маклорена ~ Аппроксимация функции многочленом

Формулы Тейлора и Маклорена. Если функция  имеет в некоторой окрестности точки непрерывные частные производные до (n+1)-го порядка включительно, то для любой точки из этой окрестности справедлива формула Тейлора n-го порядка: , где ,

,

и т.д. Формула Тейлора, записанная в окрестности точки (0,0) называется формулой Маклорена. Например, для функции двух переменных при n=2: .

ПРИМЕР 1.  Разложение функции по формуле Тейора в окрестности произвольной точки.

Аппроксимация функции многочленом. Выражение
называется многочленом Тейлора n-го порядка. Поскольку , то в окрестности точки функцию можно приближенно заменить, или, как говорят, аппроксимировать, ее многочленом Тейлора, т.е. . Чем ближе точка к точке , тем выше точность такой аппроксимации; кроме того, точность возрастает с ростом n. Это означает, что, чем больше непрерывных производных имеет функция , тем точнее представляет ее многочлен Тейлора.

ПРИМЕР 2.  Сравнение точности аппроксимации функции многочленм Тейлора разного порядка.