Неявная функция одной переменной ~Неявная функция многих переменных ~ Производная неявной функции

Неявная функция одной переменной. Пусть в некоторой области  плоскости задана функция , и пусть линия уровня этой функции , определяемая уравнением  , является графиком некоторой функции   , определяемой уравнением   . В этом случае говорят, что функция    задана неявно уравнением  . Для существования неявной функции требуется выполнение следующих условий: функция   и ее частная производная по   непрерывны в    , . Тогда в некоторой окрестности точки  существует единственная непрерывная функция     , задаваемая уравнением   , так, что в этой окрестности   .

ПРИМЕР 1.  Построение графиков неявных функций одной переменной.

Неявная функция многих переменных. Аналогично рассматривают функции многих переменных, заданные неявно. Например, при выполнении соответствующих условий, уравнение    задает неявно функцию  . Это же уравнение может задавать неявно функцию или     .

Производная неявной функции. При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение : . Отсюда получим формулу для производной функции   , заданной неявно:  . Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением   : , .

ПРИМЕР 2.  Вычисление производных функций, заданных неявно.