Частные производные ~Производная по направлению ~ Градиент ~ Полный дифференциал~ Производные и дифференциалы высших порядков

Частные производные. Пусть  - функция двух переменных, определенная в некоторой окрестности точки . Если существует конечный предел   , то говорят, что функция   имеет в точке частную производную по переменной  . Аналогично определяется частная производная по   . Обозначают:

.

Пусть - функция n переменных, определенная в области  n-мерного пространства. Частной производной функции по переменной называется предел

.

Из определения частной производной следует правило: при вычислении производной по одной из переменных все остальные переменные считаем постоянными, учитывая, что производная постоянной равна нулю и постоянную можно выносить за знак производной.

ПРИМЕР 1.  Вычисление частных производных.

Производная по направлению. Если в n-мерном пространстве задан единичный вектор , то изменение дифференцируемой функции в направлении этого вектора характеризуется производной по направлению: . В частности, для функции трех переменных  ,  - направляющие косинусы вектора  .

ПРИМЕР 2.  Вычисление производных по направлению.

Градиент. Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора  и вектора с координатами  , который называется градиентом функции   и обозначается    . Поскольку  , где  - угол между   и  , то вектор указывает направление скорейшего возрастания функции   , а его модуль равен производной по этому направлению.

ПРИМЕР 3.  Вычисление градиента функции.

Полный дифференцал. Для приращения дифференцируемой функции   справедливо равенство   . Линейная по приращениям аргументов часть приращения функции называется полным дифференциалом функции и обозначается    .

ПРИМЕР 4.  Вычисление полного дифференциала.

Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцируя частную производную как функцию нескольких переменных по одной из переменных, получим производные второго порядка. Например, для функции двух переменных: . Если смешанные производные     и     непрерывны, то они равны, то есть не зависят от порядка дифференцирования. Аналогично определяются, например,    . Если при вычислении полного дифференциала от дифференциала первого порядка учесть, что приращения аргументов есть числа и оставить их неизменными, то получим дифференциал второго порядка. Например, для функции двух переменных:   . Здесь учтено равенство смешанных производных второго порядка и принято   . При этих допущениях формулу дифференциала любого порядка можно получить из символического выражения:   .

ПРИМЕР 5.  Вычисление производных высших порядков.