Функция двух переменных ~Линии и поверхности уровня ~ Локальные экстремумы

Функция двух переменных. Переменная (с областью изменения  ) называется функцией независимых переменных  в множестве  , если каждой паре их значений из  по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение  из множества . Множество v область определения функции, множество  v область ее значений. Функциональная зависимость   от обозначается так:  и т.п. Выберем в пространстве систему координат  , изобразим на плоскости  множество  ; в каждой точке этого множества восстановим перпендикуляр к плоскости и отложим на нем значение . Геометрическое место полученных таким образом точек и является пространственным графиком функции двух переменных.

ПРИМЕР 1.  Построение графика функци двух переменных.

Линии и поверхности уровня. Линией уровня функции двух переменных  называется геометрическое место точек на плоскости  , в которых функция   принимает одно и то же значение. Линии уровня функции определяются уравнением  , где . Изучая линии уровня функции, можно исследовать характер ее изменения, не прибегая к пространственному графику. Поверхностью уровня функции трех переменных   называется геометрическое место точек в пространстве, в которых функция  принимает одно и то же значение. Уравнение поверхностей уровня имеет вид:  . Поскольку график функции трех переменных нам недоступен, поверхности уровня являются единственным средством изучения таких функций.

ПРИМЕР 2.  Построение линий и поверхностей уровня.

Локальные экстремумы. Точка называется точкой локального минимума (максимума) функции , определенной в области , если существует окрестность этой точки, такая, что   для всех точек этой окрестности, отличных от . Такие экстремумы (максимумы и минимумы) называются нестрогими. Строгие экстремумы имеют место в случае, когда выполнены строгие неравенства.

ПРИМЕР 3.  Нахождение экстремумов с помощью линий уровня.