Сходимость ряда Фурье, явление Гиббса ~Приближение функций, минимальное свойство коэффициентов Фурье ~ Зависимость скорости сходимости от гладкости функций

Сходимость ряда Фурье, явление Гиббса. Если функция  кусочно-гладкая на отрезке , то ее тригонометрический ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка. При этом, если - сумма ряда Фурье, то для любого  . То есть, если  непрерывна в точке  , то  . Если в точке у    разрыв первого рода, то ряд Фурье сходится к среднеарифметическому левого и правого пределов функции в точке  . В окрестности точек непрерывности функции  разность между значением функции в точке и значением частичной суммы ряда в этой точке стремится к нулю при  , что полностью соответствует теории, поскольку в этом случае  . В окрестности точек разрыва  частичные суммы ряда Фурье ведут себя иначе. Эта особенность поведения частичных сумм Фурье в окрестности точек разрыва называется явлением Гиббса. Оно состоит в том, что для некоторых функций в точке ее скачка      существуют такие значения    , что

Это не противоречит теории, поскольку у Гиббса рассмотрен предел  , а в теории v     .

ПРИМЕР 1.  Исследование явления Гиббса.

Приближение функций, минимальное свойство коэффициентов Фурье. Функция , где   - произвольные числа, называется тригонометрическим многочленом. Тригонометрическим многочленом наилучшего приближения n-ой степени для функции     на отрезке   называется такой многочлен , среднеквадратичное отклонение которого от функции минимально:    . Для любой ограниченной интегрируемой на    функции частичная сумма  ее ряда Фурье является тригонометрическим многочленом наилучшего приближения n-ой степени.

ПРИМЕР 2.  Нахождение тригонометрического многочлена наилучшего приближения.

Зависимость скорости сходимости от гладкости функций. Скорость сходимости ряда Фурье функции зависит от ее гладкости (количества непрерывных производных). Если  непрерывно дифференцируема r раз на отрезке  , то справедливо неравенство , где  . Для среднеквадратичного отклонения справедлива оценка   , где  .

ПРИМЕР 3.  Исследование сходимости ряда Фурье в зависимости от гладкости функций.