Ряд Фурье, его сходимость ~ Разложение в ряд Фурье на произвольном отрезке

Ряд Фурье, его сходимость. Пусть функция  абсолютно интегрируема на отрезке , то есть существует  . Тогда ей можно поставить в соответствие ее тригонометрический ряд Фурье: . Коэффициенты тригонометрического ряда Фурье называют коэффициентами Фурье и вычисляют по формулам Эйлера-Фурье: . Если функция  кусочно-гладкая на отрезке , то ее тригонометрический ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка. При этом, если   - сумма ряда Фурье, то для любого       . То есть, если   непрерывна в точке , то  . Если в точке  у   разрыв первого рода, то ряд Фурье сходится к среднеарифметическому левого и правого пределов функции в точке .

ПРИМЕР 1.  Разложение в ряд Фурье и исследование частичных сумм.

Разложение в ряд Фурье на произвольном отрезке. Для кусочно-гладкой на отрезке  функции задача о разложении в ряд Фурье на этом отрезке линейной заменой сводится к задаче о разложении функции на отрезке  :   , .

ПРИМЕР 2.  Разложение в ряд Фурье на произвольном отрезке.