Функциональный ряд, его сходимость ~ Равномерная сходимость ~ Исследование на равномерную сходимость

Функциональный ряд, его сходимость. Рассмотрим ряд,  , членами которого являются функции, определенные на промежутке  . При каждом фиксированном  имеем числовой ряд, сходимость которого может быть исследована рассмотренными ранее методами. Сумма функционального ряда  также является функцией от х:  . По определению предела последовательности: если для  можно указать номер  ( что интересно, для каждого фиксированного   - свой номер, т.е. ), такой, что для    выполняется неравенство  , то это и означает, что функциональный ряд сходится к функции. Множество , для которого это выполняется, называется областью сходимости функционального ряда.

ПРИМЕР 1.  Нахождение области сходимости функционального ряда.

Равномерная сходимость функционального ряда. Пусть  , т.е. функциональный ряд сходится. Если для   можно указать номер  независимо от  , такой, что для выполняется неравенство  , то говорят, что функциональный ряд сходится равномерно на множестве .  

ПРИМЕР 2.  Изучение сходимости функционального ряда.

Исследование на равномерную сходимость. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда: если существует сходящийся числовой ряд  с положительными членами, такой, что для всех  , начиная с некоторого номера и всех  выполняется неравенство , то функциональный ряд  сходится на равномерно. Числовой ряд  в этом случае называют мажорантой для функционального ряда.

ПРИМЕР 3.  Исследование функционального ряда на равномерную сходимость.