Теоремы сравнения ~ Признаки сходимости

Теоремы сравнения.

1. Рассмотрим два числовых ряда с неотрицательными членами   и  , . Если при всех n, начиная с некоторого номера, , то из сходимости ряда следует сходимость ряда. Наоборот, из расходимости ряда следует расходимость ряда.

2. Если для таких же двух рядов   , то оба ряда или сходятся или расходятся одновременно. При использовании теорем сравнения нужно иметь ряд-эталон, с которым сравнивать и про сходимость которого известно заранее. В качестве таких рядов чаще всего берут обобщенный гармонический ряд  , который сходится при и расходится при , или геометрический ряд , который сходится при и расходится при .

ПРИМЕР 1.  Исследование сходимости ряда по первой теореме сравнения.

ПРИМЕР 2.  Исследование сходимости ряда по второй теореме сравнения.

Признаки сходимости. Признаки сходимости Даламбера. Для ряда с положительными членами , вычислим  . Если , то ряд сходится, - расходится. При признак Даламбера ответа не дает: ряд может как сходиться, так и расходиться.

Признак сходимости Коши. Для ряда с неотрицательными членами  , вычислим . Если  , то ряд сходится, - расходится. При   признак Коши ответа не дает: ряд может как сходиться, так и расходиться.

ПРИМЕР 3.  Исследование сходимости ряда по признаку Даламбера.

ПРИМЕР 4.  Исследование сходимости ряда по признаку Коши.