Условие совместности ~ Исследование неоднородной системы. Частное решение

Рассмотрим неоднородную систему m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных
x₁ , x₂ , ..., x_n:

В отличие от однородной системы, эта система совместна не всегда.
Справедливо следующее утверждение (теорема Кронекера-Капелли).

Для того, чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом матрицы системы.

ПРИМЕР 1. Проверка условия совместности неоднородной системы.

Исследовать неоднородную систему — это значит установить, является ли она совместной, и если является — найти выражение для общего решения системы.

Исследуем неоднородную систему методом Гаусса.

Пусть

расширенная матрица исследуемой системы, ранг которой r равен рангу матрицы системы и r< n.

Такая матрица приводится Гауссовым исключением к ступенчатому виду

.

Соответствующая эквивалентная система имеет вид

Отсюда легко получить выражения базисных переменных x₁ , x₂ , ..., x_r через свободные переменные x_r+1 , x_r+2 , ..., x_n . Формулы

определяют общее решение системы. Положив свободные переменные равными нулю, x_r+1 =0, x_r+2 =0, ..., x_n=0, и вычислив соответствующие значения базисных переменных, получим частное решение исследуемой системы

x₁ =d₁ , x₂ =d₂ , ..., x_r=d_r , x_r+1 =0, x_r+2 =0, ..., x_n=0.

ПРИМЕР 2. Исследование неоднородной системы для двух различных правых частей методом Гаусса.