Вернуться на страницу <Методические разработки>

Архив разработки (27 Кб, Mathcad), (530 Кб, avi-файлы)

Задача преследования на виниловом диске, или еще раз об "основном инстинкте".

Некто Бумбараш, участвуя в Гражданской войне, был неожиданно вознагражден судьбою патефоном. В корпусе этого патефона жили две блохи — некая семья в гражданском браке. Война была гражданская, и может поэтому, брак был гражданский. И вот однажды, когда женская половина семьи находилась в углу корпуса, а мужская находилась на внутренней поверхности верхней крышки патефона и двигалась (под влиянием "весенних мыслей") в направлении угла, в котором находилась женская половина пары, у Бумбараша возникло желание послушать голос Вертинского. Бумбараш открыл крышку и запустил патефон. При этом "мистер блох" свалился на виниловый диск. После падения он продолжал целеустремленно двигаться к даме своего сердца по вращающемуся диску. Спрашивается, состоится ли встреча двух любящих сердец до тех пор, пока Бумбараш не удовлетворит свои музыкальные эстетические потребности, или этого не произойдет до полной остановки винила?

Для удобства решения задачи перейдем в систему координат, которая вращается вместе с виниловым диском. При этом диск будет покоиться, а "мадам блоха" будет бегать по кругу. Учитывая особенности передвижения блох, можно считать, что движение происходит "скачками", т.е. дискретно — один скачок за интервал времени dt, длина прыжка v*dt, координаты точки падения "мистера блоха" (,), радиус винила , координаты точки начального положения "мадам блохи" , параметр w — угловая скорость вращения диска. Вектор содержит дискретные координаты "мистера блоха", N — число точек. За один цикл расчета "блоха" делает поворот по окружности на угол w*dt, а "мистер блох" делает прыжок в направлении ее положения на расстояние v*dt. Координаты "мадам блохи" вычисляются в соответствии с общими уравнениями движения материальной точки по окружности:

.

Расчет координат "мистера блоха" проводится в соответствии с рекуррентными формулами для сдвига материальной точки из положения (,) в точку ( ,) в направлении точки (,) на величину V*dt:

,

где — расстояние между точками (для расшифровки этих формул см. Рис. 2).

Приведенный ниже Mathcad-документ позволяет провести имитационное моделирование ситуации, происходящей в патефоне, получить картину движения биологических особей и дать рекомендации "мистеру блоху" относительно скорости передвижения, необходимой для достижения желаемого им результата. При этом рекомендуется начать с небольших значений параметра N = 20, 50, 100, посмотреть характер процесса при различных значениях скорости V, разобраться, можно ли использовать приведенный Mathcad-документ для больших значений V, когда "мистер блох" будет выпрыгивать за пределы диска. Требуется также определить радиус предельной окружности, по которой будет двигаться "мистер блох" в случае, когда встречи не происходит, и определить зависимость этого радиуса от параметров w и V.

Идея задачи взята из пособия для школьников 8 класса А.А. Иванова, Е.Е. Ивановой "Курс элементарной физики. Физические явления", Из-во КГПУ, г. Красноярск, 2002.

рис. 1

рис. 2

Заметим, что если бы траектория погони выбиралась в соответствии со здравым смыслом (а не по принципу "инстинктивного" движения в направлении цели), то успех был бы гарантирован, например, при простом движении по радиусу окружности в направлении от центра к границе. Общие принципы построения оптимального управления процессом погони изложены в работах академика Понтрягина Л. Ниже приведены постановка задачи преследования и основные результаты из статьи

Л. Понтрягин Оптимизация и дифференциальные игры. «Вестник АН СССР», 1978, № 7, с. 10–17. http://ega-math.narod.ru/LSP/ch7.htm

"В пространстве R произвольной размерности n, где n > 2, рассмотрим две точки x и y, каждую из которых мы можем одновременно трактовать как вектор. Точку x будем считать преследующей точкой, а точку y — убегающей точкой. Процесс преследования считается законченным, когда x совпадает с y. Движение этих точек описывается следующими уравнениями:

  (1)

Здесь u и v — векторы пространства R. В нашей задаче они являются управляющими векторами. Их можно выбирать произвольными по направлению, но они ограничены по длине, а именно, для них выполнены условия , . Числа положительны. Таким образом, уравнение (1) описывает движение точки x с линейным трением под действием внешней силы u, которая может быть выбрана произвольной по направлению, но не превосходит по величине числа . Аналогичное верно и для точки y. Процесс преследования можно рассматривать с двух точек зрения. При первой точке зрения мы отождествляем себя с преследователем. Наша задача заключается тогда в завершении преследования путём выбора надлежащего управления u. При этом в процессе преследования мы всё время наблюдаем за поведением уходящего объекта. При второй точке зрения мы отождествляем себя с убегающим объектом, и наша задача состоит в том, чтобы уйти от преследования, выбирая надлежащим образом управление v. При этом мы всё время наблюдаем за преследующим нас объектом. Основной результат, имеющийся здесь, следующий:

1. Задача преследования всегда может быть решена положительно, то есть преследование завершено, если выполнены два неравенства

(2)

2. Задача убегания имеет всегда положительное решение, если выполнено неравенство

Оказывается, что при решении задачи преследования в случае, когда выполнены условия (2), мы всегда имеем наилучший способ поведения преследователя, то есть имеется единственное оптимальное управление преследователя u(t), отклонение от которого неизбежно увеличивает время преследования. При этом оптимальное управление преследователя u(t) определяется постепенно с возрастанием времени t в зависимости от поведения убегающего объекта."

P.S. Небольшая модификация приведенного Mathcad-документа и начальных данных позволяет провести анализ ситуации в случае, когда "мадам блоха" находится на вращающемся виниловом диске, а "мистер блох" начинает движение к ней движение с покоящейся плоскости.

Модификация документа позволяет провести анализ траекторий движения объектов при различных вариантах движения цели (скорость цели может при этом зависеть от времени и иметь достаточно сложную траекторию). Некоторые "танцевальные пируэты", описывающие траектории объектов в таких задачах приведены в *.avi-файлах (lissagu1.zip (97 Kb), lissagu2.zip (57 Kb), lissagu3.zip (207 Kb), lissagu4.zip(171 Kb)).

Можно провести модификацию Mathcad-документа для анализа задачи преследования со стохастическим движением цели — некоторая "Охота на овец" (почти по Мураками) - http://som.fio.ru/Resources/MarkovaSN/Theacher/Doc1/Doc1.htm

А также для анализа задачи преследования, где объект, движется по траектории солнечного зайчика внутри зеркального круга, эллипса и т.д.

P.P.S. Красивое решение (даже с аналитическими формулами!!!) задачи преследования с использованием пакета Mathcad для четырех птиц, движущихся из вершин правильного тетраэдра в направлении друг друга приведено на сайте http://collab.mathsoft.com, Patrick Maxfield (Exact Solution of Hummingbird Problem)

Наверх