2. Интерпретация конформной геометрии средствами Matlab

2.3 Пользовательский интерфейс

Стереографическая проекция

Пусть сфера единичного радиуса с центром в точке О (0, 0, 0) касается пополненной плоскости z=-1 в южном полюсе S(0, 0, -1).

Выберем на плоскости произвольно точку Х' с координатами (х', у', -1). Полученная точка Х пересечения отрезка Х'N (рис.4) со сферой – стереографическая проекция точки Х' на сферу. Обозначим ее координаты через (x, y, z) и найдем их.

Известно, что декартовы координаты точки через сферические выражаются следующими формулами:

x = R cosa sinq , y = R sina sinq , z = R cosq .

Введем следующее обозначение: r = SX'. Тогда по рис. 5

, NX'= .

Рассмотрим D NOX. Применяя теорему синусов, получаем

.

Рассматривая подобные треугольники NSX' и NSX, получим, что

или .

При этом . Следовательно .

По рис.4: .

Таким образом, получаем координаты точки Х – стереографической проекции точки Х':

, , .

Но в нашем случае радиус сферы равен 1, тогда формулы приобретут вид:

, , .

Конформные преобразования

Пусть сфера единичного радиуса с центром в точке О (0, 0, 0) касается пополненной плоскости z=-1 в южном полюсе S(0, 0, -1).

Будем рассматривать конформные дробно-линейные преобразования, которые переводят окружность с координатами (x, y, -1) в окружность с координатами (х' , у', -1). Подвергнем ее конформному преобразованию вида

,

где a, b, c, d, z – комплексные.

Очевидно комплексная координата z = x+iy. Зная z, можем получить z', а, следовательно, и координаты окружности, полученной в результате преобразования. При этом x'=Re(z), y'=Im(z).

Экваториальная плоскость

Пусть пополненная ХY-плоскость проходит через центр О(0,0,0) сферы единичного радиуса, т.е. является плоскостью экватора.

Выберем на плоскости произвольно точку Х' с координатами (х', у', 0). Полученная точка Х пересечения отрезка Х'N (рис.6) со сферой – стереографическая проекция точки Х' на сферу. Обозначим ее координаты через (x, y, z) и найдем их.

Снова применим сферические координаты точки, через которые можем найти ее декартовы координаты:

x = R cosa sinq , y = R sina sinq , z = R cosq .

Введем следующее обозначение: r = ОX'. Тогда

, NX'= .

Рассмотрим D NOX. Применяя теорему синусов, получаем

.

Рассматривая подобные треугольники NОX' и NХS, получим, что

или .

При этом . Следовательно .

По рис.7: .

Таким образом, получаем координаты точки Х – стереографической проекции точки Х':

, , .

Но в нашем случае радиус сферы равен 1, тогда формулы приобретут вид:

, , . (1)

Как сказано выше, дробно-линейное конформное отображение вида

соответствует повороту на сфере SU(2)>SO(3).

Если b=0, то неподвижными точками являются z₁=0 и z₂=.

Если b0, то неподвижными будут точки . При чем х=Re(z) и y=Im(z).

Пусть l, m, n координаты неподвижной точки на сфере, полученные применением преобразования (1) к точке (3).

Пусть (х', y', z' ) – координаты стереографической проекции точки (x, y, 0). Пусть также точка (x₁, y₁, 0) – отображение точки (x, y, 0) конформным преобразованием (2), а (х", у", z" ) – стереографическая проекция точки (x₁, y₁, 0).

Расстояние между точками (х', y', z' ) и (х", у", z")

.

Расстояние от этих точек до прямой, проходящей через неподвижные точки на сфере (оси вращения) .

Угол поворота относительно оси вращения, переводящей (х', y', z' ) в (х", у", z" ) .

Список литературы

1. Бакельман И.Я. Высшая геометрия, М.: Просвещение, - 1967 г.
2. Постников М.М. Аналитическая геометрия, М.: Наука – 1973 г.
3. Ф. Клейн Лекции об экосаэдре и решение уравнений пятой степени, М: 1989 г.
4. Дьяконов А.Г. Matlab 5, М: 2000 г.

В начало