Архив
разработки (115 кб, Matlab, Word)
Cодержание
- Введение
- Гармонические вейвлеты
- Вейвлет-Галеркина метод
решения уравнения Бюргерса
- Численные расчеты
- Заключение
- Литература
В последние годы использование
кратномасштабного анализа и вейвлетов стало
очень популярным при разработке численных схем
для решений дифференциальных уравнений в
частных производных(PDE). В этой работе
используются комплексные гармонические
вейвлеты как базисные функции в методе Галеркина
для уравнения Бюргерса. Хотя гармонические
вейвлеты плохо локализованы в пространстве (с
амплитудой |y|, которые
убывают как x-1 на бесконечности), они не
пересекаются в спектральном пространстве, что
делает их особенно полезными в изучении
локальных взаимодействий в волновом
пространстве. Целью работы является не получение
новых знаний об уравнении Бюргерса. Мы просто
хотим предоставить пример использования такого
базиса для метода Галеркина.
Рассмотрим комплекснозначный базис
Литтлвуда-Пэйли, определенный при помощи
материнского вейвлета:
(1)
Ортонормированный базис можно сконструировать
ортонормированный базис сдвигом и расширением материнского
вейвлета, где j - масштабный коэффициент, а k -
коэффициент сдвига. В итоге базис имеет вид:
, для , и =0 в других случаях, (2)
Важнейшим шагом в конструировании алгоритма
является периодизация вейвлета. Периодические
вейвлеты могут быть сконструированы при помощи
стандартной процедуры:
(3)
на единичном отрезке. При этом все свойства
вейвлетов переходят на их периодические копии.
Из (3) получаем периодические вейвлеты:
(4)
где j=0,…,r и k=0,…,2j-1. Рисунок 1. изображает
действительную и мнимую части периодических
гармонических вейвлетов .
a)b)c)
d)
Рисунок 1.
Действительная и мнимая части периодических
гармонических вейвлетов a) , b) , c) , d) .
Интересно заметить, что (4) имеет вид, подобный
Фурье-преобразованию и поэтому для него
справедливы большинство свойств преобразования
Фурье. Определив дискретное вейвлет
преобразование как {fl}:
(5)
где , есть
дискретный 1-периодический гармонический
вейвлет (per отброшено для удобства), и
коэффициенты выглядят:
(6)
где {F}-коэффициенты Фурье для {f}.
Заметим, что aN-s=ãs, кроме случаев a0
и aN/2, которые всегда являются
действительными. Это свойство позволяет
разработать эффективный и простой параллельный
алгоритм, основанный на FFT, для подсчета
коэффициентов вейвлетов.
Далее
|