© Ф.Пинежанинов, П.Пинежанинов

В начало
Зеркало: http://pinega.da.ru/

• Вступление
• Качество базиса
• Технология исследования
• Свойства базисных функций для конечных элементов
• Базисные функции для трехмерных элементов
• Заключение
• Литература

Вступление

В предыдущей статье "Базисные функции для конечных элементов" рассмотрена технология построения базисных функций на основе общего базиса пространства и некоторых желательных свойств относительно значений в узлах и их производных. В некоторых случаях для одного и того же набора узлов можно построить различные базисные функции, например для 10 узлового треугольника и его пространственных аналогов. Поэтому желательно иметь технологию, позволяющую оценивать  вычислительную эффективность базисных функций.

 Ранее было дано определение конечного элемента как тройки семейств и правила вычисления:.

Понятно, что для различных узловых точек  будут построены различные, но похожие базисные функции. Полезно разобраться как расположение узловых  точек влияет на свойства элемента и при каких условиях можно построить взаимно-однозначное отображение одного элемента на другой. Последнее свойство особенно важно, так как позволяет при интегрировании функций использовать области удобные для численных методов, и затем переносить результаты на интересуемые области пространства.

 В работах Ф. Сьярле и Д. Ши показано, что "... норма погрешности конечно-элементного решения всегда будет меньше, чем норма погрешности для соответствующей интерполяционной функции, умноженной на некоторую постоянную", поэтому важно оценивать интерполяционные возможности базисных функций. Это поможет нам знать какую  точность можно ожидать от численных решений интересующих нас проблем.

Качество базиса

Рассмотрим две произвольные функции:  и , определяемые значениями в узлах. Эти выражения можно записать в матричной форме и рассматривать как векторы в пространстве базисных функций :

.

Основная операция с векторами - это скалярное произведение (*,*), поэтому качество базисов естественно оценивать с точки зрения этой операции:

.

Здесь квадратная матрица  это матрица Грама для базисных функций и её свойства позволяют оценить качество базисных функций.

В работе С.Г. Михлина отмечается, что для устойчивости вычислительных процессов желательно, чтобы базис был почти ортонормирован, где под этим понимается, что все собственные числа матрицы Грама содержатся в небольшом отрезке числовой оси. Поэтому  отрезок  определяет свойства базисных функций. Различные  базисы удобно сравнивать с помощью числа обусловленности матрицы Грама в евклидовой норме для матрицы , что по существу является оценкой вытянутости гиперэлипсоида  или неравноценности базисных функций. Интуитивно понятно, что наилучшими вычислительными свойствами будет обладать единичная матрица, которая соответствует гиперкругу с радиусом 1 и, другими словами: ортонормированному базису или базису Фурье. Этим, кстати, объясняется выбор базиса в n-мерном арифметическом линейном пространстве  во вступлении статьи "Базисные функции для конечных элементов". Просто мы выбираем самый лучший из возможных.

Расширение линейного функционала на геометрическое пространство  ухудшает ситуацию, но, каждая девушка знает, что невозможно добиться новых возможностей не потеряв невинность, поэтому важно оценить насколько. При этом полезно иметь в виду качественную оценку, приведенную в работе Гильберта Стренга: "Эмпирический закон, экспериментально проверенный, состоит в том, что при исключении Гаусса при наличии ошибок округления в решении может потерятся log x десятичных знаков ".

Скалярное произведение  функций  естественно определить в виде интеграла по некоторому объему , а в качестве объема  брать единичную сферу в векторных  нормах или ее часть.

Ниже рассмотрим векторные нормы для двухмерного случая, которые имеют естественные аналоги в трехмерном случае. Когда используются  получаются треугольники,

а  дает область в виде куба с единичными вершинами:

В вариационных задачах математической физики обычно важны аппроксимирующие свойства не только функций, но и первых производных, поэтому естественно посмотреть свойства базисных функций в пространстве Соболева , скалярное произведение в котором определяется как

для одномерного случая  ,

для двухмерного случая, или с использованием матриц:

Для трехмерного случая запишем только в матричном виде

Переменная   введена для удобства вычислений: при с=0 получаем метрику в пространстве функций , а при с=1, во вложенном в него пространстве функций .

По десятичному логарифму числа обусловленности матрицы Грама  в , согласно с эмпирическим законом, указанным Стренгом, будем оценивать точность получения интерполируемых величин. В качестве гипотезы примем, что этот закон можно продолжить на , и по  десятичному логарифму числа обусловленности матрицы Грама  в , оценивать точность получения производных от интерполируемых величин.

Технология исследования

Определим скалярное произведение для базисных функций  по квадратной области и по треугольной, затем проверим его свойства так, чтобы  при единичных функциях  получать площади:

       , проверочный результат  4,

   результат проверки 0.5.

Аналогично в трехмерном случае для куба и треугольной призмы будем получать объемы:

,  результат 8.

, результат 1.

Пусть базисные функции заданы в виде списка b ,  проверим сначала технологию для векторных базисов:

Определим скалярное произведение обычным для векторов образом:

Построим матрицу Грама, найдем ее собственные числа и вычислим число обусловленности как отношение наибольшего собственного числа к наименьшему собственному числу. Десятичный логарифм числа обусловленности покажет сколько примерно десятичных цифр мы теряем в точности при достаточно сложных алгебраических вычислениях.

{{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}

{1, 1, 1}

1.  

Тогда при известном списке базиса b надо определять скалярное произведение в виде функции от двух целочисленных переменных,  определять собственные числа матрицы Грама и  вычислять число обусловленности :

1.

В качестве примера оценим полиномиальный базис на единичной сфере в одномерном   cлучае, а оценку будем вести уже в двух пространствах функций:

Пространство С0 Число обусловленности = 10228.1 Теряем цифр 4.00979

Пространство С1 Число обусловленности = 575.542 Теряем цифр 2.76008

Здесь список чисел обусловленности, по мере возрастания числа элементов в полиномиальном базисе:

{  1,3 , 14.1292, 67.6044,358.293 ,1870.39 ,10228.1 }.

Очевидна ограниченная возможность использования таких полиномов для задач интерполяции – функции слишком похожи друг на друга, но зато матрицы Грама, построенные на этих функциях удобно использовать для проверки вычислительных свойств  программ решения систем линейных алгебраических уравнений.

Посмотрим свойства многочленов Лежандра, которые часто используются для поиска многочленов наилучшего приближения, полученные значения могут служить ориентиром для базисных функций:

Пространство С0 Число обусловленности = 21.0 Теряем цифр 1.32222

Пространство С1 Число обусловленности = 98.1426 Теряем цифр 1.99186

Свойства многочленов Чебышева, тоже могут служить ориентиром для базисных функций:

Пространство С0 Число обусловленности = 13.7837 Теряем цифр 1.13937

Пространство С1 Число обусловленности = 294.752 Теряем цифр 2.46946

Подведем некоторые итоги: имеем технологию оценки различных систем функций с точки зрения их близости и ориентировочные значения для понимания того, какие системы функций можно считать хорошими, а какие плохими.

Свойства базисных функций для конечных элементов

Сначала исследуем вычислительные свойства популярного простейшего треугольника с тремя узлами для интерполяции функций от двух переменных, такие треугольники широко используются в машинной графике и методе конечных элементов:

Пространство С0 Число обусловленности = 4.0 Теряем цифр 0.60206

Пространство С1 Число обусловленности = 73 Теряем цифр 1.86332

Видим, что он обладает прекрасными интерполирующими свойствами и числом обусловленности 4. Для сравнения оценим свойства исходного для него полиномиального базиса:

Пространство С0 Число обусловленности = 54.2316 Теряем цифр 1.73425

Пространство С1 Число обусловленности = 28.8941 Теряем цифр 1.46081

Видим, что его число обусловленности 54, то есть его интерполирующие свойства на порядок хуже конечно-элементного базиса.

Исследуем свойства квадратичного треугольника:

Пространство С0 Число обусловленности = 17.2086 Теряем цифр 1.23574

Пространство С1 Число обусловленности = 721.629 Теряем цифр 2.85831

Далее рассмотрим треугольник с кубической интерполяцией:

Пространство С0 Число обусловленности = 33.9692 Теряем цифр 1.53109

Пространство С1 Число обусловленности = 3793.71 Теряем цифр 3.57906

Он также обладает неплохими интерполирующими свойствами. Оценим свойства исходного для него полиномиального базиса:

Пространство С0 Число обусловленности = 276883.0 Теряем цифр 5.4423

Пространство С1 Число обусловленности = 10548.5 Теряем цифр 4.02319

Видим, что исходный полиномиальный базис для кубического элемента обладает плохими интерполирующими свойствами и введение конечно-элементного базиса существенно улучшает ситуацию.

Ниже приведен пример исследования базисных функций для двухузлового Эрмитова элемента:

Пространство С0 Число обусловленности = 292.822 Теряем цифр 2.4666

Пространство С1 Число обусловленности = 10.5193 Теряем цифр 1.02198

Для сравнения аналогичный Лагранжев элемент, который может использоваться для моделирования цепей или веревок:

3.0

0.477121

Из сравнения следует, что для линейного элемента введение производных ухудшает ситуацию на два порядка, в то время как исходный базис Эрмитова элемента имеет заметно лучшие свойства:

67.6044

1.82997

Далее рассмотрим базисные функции для узлов, расположенных на единичной сфере в бесконечной норме или, проще говоря, на квадрате:

Пространство С0 Число обусловленности = 9.0 Теряем цифр 0.954243

Пространство С1 Число обусловленности = 7.0 Теряем цифр 0.845098

Для квадратичного по одной стороне и линейного по другой элемента картина аналогичная:

Пространство С0 Число обусловленности = 20.6389 Теряем цифр 1.31469

Пространство С1 Число обусловленности = 19.8913 Теряем цифр 1.29866

Для классического квадратичного элемента:

Пространство С0 Число обусловленности = 40.3521 Теряем цифр 1.60587

Пространство С1 Число обусловленности = 77.1384 Теряем цифр 1.88727

Далее для линейно-кубического элемента:

Пространство С0 Число обусловленности = 28.083 Теряем цифр 1.44844

Пространство С1 Число обусловленности = 57.2085 Теряем цифр 1.75746

Для классического кубичного элемента :

Пространство С0 Число обусловленности = 83.9878 Теряем цифр 1.92422

Пространство С1 Число обусловленности = 297.435 Теряем цифр 2.47339

Ну и в заключение вопроса о двухпараметрических элементах экстравагантный случай, который позволяет соединять элементы с разными интерполирующими функциями между собой:

Пространство С0 Число обусловленности = 80.192 Теряем цифр 1.90413

Пространство С1 Число обусловленности = 264.385 Теряем цифр 2.42224

При построении сложных элементов полезно проверить, что на границах элемента реализуется соответствующая система базисных функций от одной переменной:

1

1

1

Из этих графиков следует, что базисные функции на границе элемента ведут себя в соответствии с желаемым, то есть сужение до границы приводит к однопараметрическим функциям, что обеспечит непрерывность функций при соединении конечных элементов. Но о многообразиях и интерполяции сложных областей в следующей статье.

Базисные функции для трехмерных элементов

Исходные базисные функции будем выбирать из выражения для степеней линейной функции, обеспечивая при этом постепенное возрастание степеней базисных функций по каждой переменной, а в случае геометрической симметрии узловых точек будем добиваться аналогичной алгебраической симметрии базисных функций, что позволит обеспечить необходимую изотропию свойств интерполяции :

Определение скалярного произведения:

Запишем его в виде пригодном для анализа в программе Mathematica:

Для описания трехмерных элементов используем обычное для математики правило правого винта (штопора, или проще если вы не автомобилист:  представьте, что открываете бутылку вкусного вина для дамы – ощущения, естественно, положительные ) : начинать будем с узла с наименьшими координатами и, двигаясь против часовой стрелки, будем перечислять узлы слой за слоем смещаясь в  положительном направлении третьей оси.  Систему координат при этом принято считать правой.

Для линейного кубика или другими словами единичной сферы в бесконечной норме:

8

1

Пространство С0 Число обусловленности = 27.0 Теряем цифр 1.43136

Пространство С1 Число обусловленности = 10.0 Теряем цифр 1.0

Для кубика с квадратичной интерполяцией:

20

16777216

1

Пространство С0 Число обусловленности = 227.721 Теряем цифр 2.3574

Пространство С1 Число обусловленности = 207.733 Теряем цифр 2.31751

До сих пор все хорошо работало, но вот возникают проблемы на кубичном элементе:

32

32

-1.03732E-56

Здесь видим, что определитель практически нулевой, а значит систему не решить и в лоб базисных функций не построить. 

Заключение

Нам удалось исследовать базисные функции ( или системы координатных функций, или функции формы ) для многих популярных конечных элементов, построенных на основе технологии предыдущей статьи.

 Но в некоторых важных случаях  матрица, по строкам (или столбцам) которой - значения исходного полиномиального базиса в узлах конечного элемента имеет нулевой определитель, а следовательно, матрицу нельзя обратить и найти конечно-элементный базис.

 Аналогичная ситуация была с кубичным треугольником, рассмотренным в статье "Базисные функции для конечных элементов".  Там путем выбора другой базисной функции или определением исходного полиномиального базиса на более широком множестве  узлов и, последующего исключения на основе некоторых разумных предположений, удалось построить необходимый базис для конечных элементов.

Но это решение основано на догадке и, как показали вычислительные эксперименты, встречается достаточно часто при построении элементов с высокими степенями полиномов.

Ключ к пониманию и решению этих проблем лежит в анализе свойств сужения области существования (носителя) базисных функций на дискретное множество. Или, что эквивалентно,   к определению скалярного произведения  с использованием дельта-функции Дирака в качестве весового множителя и требованию линейной независимости строк матрицы Грама, построенной с использованием этого скалярного произведения. Все это следствие выбранного базиса Фурье в конечномерном пространстве или уни-разрешимости базисных функций.

Исследованию  и решению этих проблем будет посвящена следующая статья этой серии.

Литература

1. Дьяконов В.П. Системы символьной математики Mathematica 2 и Mathematica 3: - М.: СКпресс, 1998.
2. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов: - М.: Наука, 1966.
3. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения: Пер. с англ. - М.: Мир, 1980.
4. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач: Пер. с англ. - М.: Мир, 1980.
5. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена: Пер. с англ. - М.: Мир, 1988.

Санкт-Петербург,  февраль 2000 

В начало