Купить Matlab  |  Mathematica  |  Mathcad  |  Maple  |  Statistica  |  Другие пакеты Поиск по сайту
Internet-класс  |  Примеры  |  Методики  |  Форум  |  Download
https://hub.exponenta.ru/


Осреднение свойств в конечном элементе

© Ф.Пинежанинов

В начало
Зеркало: http://pinega.da.ru/

Вступление

В природе и технике многие используемые среды состоят из чередующихся объемов веществ с различными свойствами. При этом характерные объемы однородного вещества много меньше размеров самой конструкции, но таковы, что внутри неоднородности поведение материала можно описывать уравнениями механики. Обычно принимается, что на поверхности контакта сред выполняются условия непрерывности перемещений и деформаций, то есть выполняются условия прилипания.

 В этой ситуации обычно действуют следующим образом:  определяют эффективные характеристики среды, например, эффективный модуль упругости и коэффициент Пуассона или их аналоги если используется теория упругости, и сводят задачу к однородной среде, иногда к анизотропной. Определение эффективных характеристик осуществляют на основе простейших опытов на чистое растяжение и всестороннее сжатие. Такой подход позволяет получить правильную картину перемещений в деформированном объекте в целом. Для задач с нелинейным поведением по аналогичным принципам строят зависимости напряжений от деформаций и их используют для решения задач с однородными свойствами. Аналогичным образом действуют и в других задачах математической физики.

В общем, чисто "математический подход": для того, чтобы сварить суп надо взять пустой котелок, налить воду, положить мясо и овощи и эту смесь варить и не забыть посолить. Но вот ситуация, есть котелок с водой и овощами, что сделает математик? Выльет все и сведет задачу к известной. В общем, действует как "реформатор", который, начитавшись переводных книжек, "знает" как строить рыночную экономику с нуля, поэтому сносит существующую. Но не обязательно же выливать в отходы, можно же перелить в "котелок, который постоянно должен варить" и из него по отдельным компонентам в "пустой " котелок налить воду и так далее. Этим и займемся.

Конечные элементы по существу нужны для сведения континуальной задачи к конечномерной, через использование интерполяционного процесса. Технологически это сводится к построению матриц входящих в систему дифференциальных уравнений, с помощью которых описывается движение деформируемого объекта

В механике деформируемого тела u -вектор степеней свободы, обычно перемещений, но могут быть и их производные, это неизвестные функции, которые надо определить. K - матрица жесткости, с помощью которой определяются реакции тела на деформирование, С- матрица демпфирования, с ее помощью обычно описывается рассеяние кинетической энергии из-за внутреннего или внешнего трения, M - матрица масс, определяющая инерционные свойства, F - вектор действующих нагрузок . В общем случае все эти матрицы могут зависеть от времени и перемещений. И, естественно, они зависят от физических свойств и геометрии занимаемого пространства. Далее будем рассматривать только область пространства, занимаемую конечным элементом, так как вопросы построения ансамбля не относятся к содержанию этой статьи, и все матрицы будем считать соответствующими матрицами конечного элемента.

Будем рассматривать только построение матрицы жесткости для теории упругости, так как все остальные строятся похожим образом.

Матрица жесткости получается из рассмотрения потенциальной энергии конечного элемента , которую можно представить в виде интеграла от двойного скалярного произведения тензоров деформации и напряжений, или аналогично в векторном представлении

 

Если тензор (или матрица) D, осуществляющий связь физических и геометрических свойств постоянный, то проблем нет, применяя обычную конечноэлементную технологию, легко построим матрицу жесткости. Если тензор D плавно меняется, то подынтегральное выражение является гладкой функцией интеграл - это обычный кратный Риманов интеграл и вычисления можно выполнять. Но представим, что физическая среда конечного элемента это "батончик c орешками", то есть тензор D непредсказуемым скачкообразным образом меняет свои свойства с одного известного состояния, на другое тоже известное.

Для интегрирования подобных математических объектов целесообразно использовать понимание энергии в смысле интеграла Лебега, в котором w понимается в смысле меры по некоторому множеству, на котором значения подынтегральной функции мало меняются. Познакомиться с теорией меры и таких интегралов можно, например, в книге Колмогорова и Фомина.

Такое понимание интеграла по Лебегу будем подчеркивать использованием обозначения конкретной меры множества m(w) по которой осуществляется интегрирование, вместо w, которая будет обозначать интегрирование с объемной мерой, или интеграл, понимаемый в смысле Римана.

.

Таким образом, элемент объема можно разложить на меры входящих в него компонент

Интеграл энергии по композитному материалу с сильно осциллирующей подынтегральной функцией распадается на два квадратичных интеграла по мерам с гладкими функциями. Очевидно, что этот процесс разложения можно распространить на любое количество компонент.

Изотропная смесь

В популярном строительном материале- бетоне присутствуют следующие фракции: крупный заполнитель, мелкий заполнитель и цементный гель, образованный из цементного камня и воды в результате химической реакции - гидратации. Могут присутствовать и другие добавки. В результате перемешивания бетон представляет собой материал с механическими свойствами, зависящими от свойств отдельных изотропных компонентов, и в среднем является изотропным материалом. Строгое определение его таково: железобетон это комплексный строительный материал, в котором бетон и стальная арматура, соединенные взаимным сцеплением, работают как единое монолитное целое. То есть, основное условие совместной работы материалов, совместность деформаций арматуры и бетона.

В силу вероятностного характера элементов нельзя указать свойства в конкретной точке, но статистическая устойчивость свойств на элементе должна соблюдаться. В подобных ситуациях обычно известны объемные доли входящих компонентов и их можно использовать в определении меры соответствующего компонента.

При этом должно соблюдаться условие нормировки  объемных долей

.

Следовательно, для изотропной смеси можно ввести эквивалентную матрицу упругости

Необходимо помнить об общем принципе, что модель сплошной среды будет давать приемлемые результаты, если размеры компонент достаточно малы по сравнению с характерными размерами конечного элемента.

Матрица упругости для однородного изотропного материала имеет вид :

 

Все компоненты линейны, следовательно можно вычислить эффективные коэффициенты Ляме через объемные доли компонент : . Приведем еще формулы, связывающие более употребительные в инженерной практике модуль упругости и коэффициент Пуассона, с коэффициентами Ляме, более удобными в теоретической работе :

.

Таким образом, приходим к известной гипотезе Фойгта, заключающейся в том, что в простейших опытах на растяжение-сжатие деформации по всему объему композиционного материала постоянны. В книге Кравчука, Майбороды, Уржумцева отмечается, что характеристики, полученные на основе гипотезы Фойгта, являются оценками сверху для "истинных " модулей. Учитывая, что метод конечных элементов, в силу конечномерных интерполяций дает более жесткие решения, использование подобного осреднения будет еще повышать жесткость, а значит, и принятые на основе этой информации инженерные решения будут обладать, возможно, меньшими коэффициентами запаса, что является опасным и должны применяться большие коэффициенты запаса.

В книге “Композиционные материалы” описано много экспериментов по определению эффективных модулей композитов на основе эпоксидных смол и расчетных характеристик. Общий вывод таков “упругие постоянные материалов, с достаточной точностью могут быть рассчитаны по свойствам исходных компонентов и их объемному содержанию”. При этом отмечается, что “Расхождения в расчетных и экспериментальных значениях модулей упругости не превышают 17%, причем расчетные значения, в основном, оказываются выше экспериментальных.  Для модуля сдвига наблюдается некоторое превышение экспериментальных значений над расчетными, максимальное расхождение 19%”  И в другом месте:  “Опытные значения характеристик оказались несколько выше расчетных. Особенно отчетливо это превышение ( до 10%) … ” “Разброс характеристик незначителен, коэффициент вариации их значений не превышал 7%”. Резюмируя  все это можно придерживаться оценки точности порядка 10%, что является вполне приемлемым для большинства расчетов, так как экспериментальные данные имеют точность порядка 7%.  В конце концов, и закон Гука всего лишь удобное вычислительное приближение к реальному поведению материалов.

Есть еще некоторые проблемы уравновешивания напряжений на поверхностях контакта сред, но с точки зрения интеграла Лебега это множества меры нуль по сравнению с объемными основными мерами и интегрированием по ним можно пренебречь, так как они не вносят существенного вклада в общую энергию конечного элемента. Кроме того, мы рассматриваем деформирование, то есть непрерывное и гладкое преобразование области пространства, следовательно, подразумеваем, что производные по координатам, по крайней мере, непрерывны, и хотя в МКЭ это не всегда так в силу используемых интерполяций, но это всего лишь погрешность численного метода, а не общий принцип.

Еще одно полезное применение этой технологии - определение упругих характеристик грунта по пористости, под которой в геологии понимается отношение объема всех пор к рассматриваемому объему и известных механических свойствах составляющих частиц. Понятно, что так же можно поступить в случае расчетов из вспененных материалов, таких как пенобетон или шоколадные батончики, не тонущие в молоке.

При подобном моделировании пренебрегается энергией контактирующих поверхностей, то есть наполнитель в виде шара и любой другой формы, куба, например, неразличимы. Однако, это не всегда так и, чтобы учесть эффекты пограничного слоя, можно добавить интеграл по поверхностной мере контакта.

Современные конечно-элементные программы обычно не обладают подобными возможностями и поэтому эти эффекты можно учесть с помощью "коэффициентов формы " наполнителя, с помощью которых можно увеличивать - уменьшать доли наполнителя - связующего в зависимости от необходимости. Получить эти коэффициенты можно или из физических экспериментов на образцах, или точно моделируя подходящие ячейки смеси подходящими программами, реализующими метод конечных элементов и проводя на них математические эксперименты.

При отсутствии подобной информации, "коэффициент формы" можно вычислить как отношение объема шара с эквивалентной площадью к истинному объему наполнителя по формуле: где S- средняя площадь поверхности наполнителя, V- средний объем наполнителя.

Конечные размеры наполнителя

Во многих практических ситуациях наполнитель имеет некоторые размеры соизмеримые с размерами конечного элемента, и сам может быть описан некоторым конечным элементом. Такова, например, металлическая арматура в железобетоне, имеющая линейную протяженность, слои из различного материала во многих композитах, имеющие поверхностную меру, металлическое армирование в покрышках автомобилей, слои грунта из различных пород, да еще и со сваями, внедряемыми для изменения характеристик жесткости основания. К этим же объектам можно отнести и многие конструктивные особенности изделий машиностроения, например, впадины между зубьями в зубчатых колесах и другие пустоты, которые можно считать армированием с нулевыми физическими характеристиками, относительно основного материала изделия.

Понятно, что хотя возможно тщательно промоделировать каждую особенность в отдельности, рост размерности задачи не позволит рассмотреть систему целиком с учетом каждой мелочи. Надо усреднять некоторым разумным образом, например, как это делается в балочных теориях, вместо реальных геометрических размеров сечений используются абстрактные площади и моменты инерции, то есть, интегральные, или осредненные, геометрические характеристики.

В методе конечных элементов базисные функции выполняют двоякую роль. С их помощью интерполируются содержательные величины, например, перемещения, температуры и подобные через значения этих величин в узлах конечного элемента.

С другой стороны интерполируются геометрические координаты точек пространства, что необходимо для вычисления интегралов по области конечного элемента для характеристических матриц: жесткости, демпфирования, масс в механике.

Для однородных сред обычно используют одни и те же базисные функции для обеих целей и этот факт обычно подчеркивают тем, что говорят об изопараметрических конечных элементах. Но это не всегда, на одной и той же геометрии можно использовать две системы базисных функций и в этой ситуации можем говорить о многопараметрических конечных элементах. При этом возникают две системы узлов, базисных функций и линейных функционалов, то есть, по существу, на одной геометрии два конечных элемента. При этом одна система узлов используется для определения неизвестных функций, другая - объемов.

При этом одна система может являться подмножеством другой. При этом в зависимости от степени полиномов двух систем базисных функций говорят о субпараметрических или суперпараметрических конечных элементах. Подробнее об этом можно почитать у Сегерлинда. Такая техника усложняет программирование при не слишком большом выигрыше, и поэтому ее редко используют. Исключение представляют иерархические конечные элементы, где ее применение для вычисления объемов естественно. При этом совпадающие параметры , или локальные координаты {x, h, z} соответствуют одной и той же точке геометрического пространства {x,y,z}, другими словами соблюдаются равенства:

При этом число неизвестных определяется системой базисных функций , используемой для интерполяции неизвестных функций, например, перемещений, а геометрия элемента определяется системой базисных функций .

Теперь важный логический переход. Пусть внутри одного конечного элемента находится другой конечный элемент и пусть число параметров одного элемента, определяемых вектором  не обязательно совпадает с параметрами другого конечного элемента , другими словами один конечный элемент в геометрическом смысле является подмножеством или даже многообразием внутри другого элемента. Следуя принципу наследования, из объектно-ориентированного подхода можем дать более широкое определение конечного элемента как множества состоящего из конечных элементов, определенных обычным образом, при этом на первом месте будем ставить конечный элемент, определяющий интерполирующие функции неизвестных функций, а далее следуют конечные элементы, определяющие подмножества геометрий или носитель этих базисных функций. Если носители отсутствуют, то элемент изопараметрический, то есть и за функции и геометрию отвечает один и тот же конечный элемент.

Таким образом, интеграл по конечному элементу из композитного материала с размером наполнителя соизмеримым с размером элемента где матрица свойств D зависит от координат может быть разложена на слагаемые где матрицы свойств постоянные:

.

Здесь индекс n обозначает наполнитель, индекс a обозначает армирующий материал, W - область всего элемента, на котором определяется характеристическая матрица и базисные функции, связанные с неизвестной функцией, и конечный элемент, определяющий армирующий материал и его матрица свойств уже постоянная в пределах области интегрирования.

При вычислении по всей области используется обычная техника численного интегрирования по области порождающего конечного элемента через вычисление матрицы Якоби преобразования и на его основе вычисляются значения частных производных по координатам x, y, z . При вычислении интеграла по области армирования надо действовать немного иначе - численное интегрирование должно осуществляться по подмножеству, пусть это подмножество для примера одно параметрическое, и зависит от g, тогда преобразование меры длины осуществляется по известным формулам, например из книги Куранта, по g.

Затем вычисляются глобальные координаты    по элементу армирования, а затем из решения нелинейной в общем случае системы уравнений относительно

x, h, z

x, h,  :   находятся значения локальных координат , соответствующие параметру g. Вычислительный опыт показал, что в силу того, что базисные функции гладкие, эта система уравнений легко решается за несколько итераций метода Ньютона или метода сопряженных градиентов , практичное изложение которых можно посмотреть в книгах Гилла, Мюррея, Райта или Реклейтиса, Рейвиндрана, Рэгсдела при нулевом начальном приближении. В общем , решить систему из трех уравнений не проблема. Там же можно почитать о сопряженных градиентах с предобуславливанем, вновь входящих в моду в программном обеспечении.

Далее используя эти значения и обычную конечноэлементную технику находим частные производные по глобальным координатам и в цикле узлам интегрирования, для g численно вычисляем соответствующую матрицу.

Аналогичным образом можем поступить, если элемент армирования двумерный или трехмерный элемент. Это может быть запрограммировано, но существующие программы обычно не поддерживают подобной технологии и поэтому для практических целей пока лучше ограничиваться более простыми моделями, а этот материал адресуем разработчикам программ. Или на досуге нарисуем сами МКЭ программку.

Неоднородность свойств по направлениям

Многие объекты состоят из достаточно мелких изотропных компонентов, как-то ориентированных и в результате объект нельзя считать изотропным, а следовательно и применять гипотезу объемных долей. Для того, чтобы понять как работать с подобными средами, надо посмотреть повнимательнее на закон Гука, который в тензорном виде можно записать в виде

, где  тензор модулей упругости. Тензорная символика необходима, потому, что будем изучать как меняются модули упругости при изменениях системы координат. Для упрощения будем использовать только ортонормальные системы координат,  тогда различия между ковариантными и контравариантными объектами не будет и можно использовать только нижние индексы в тензорных обозначениях, как это делается в книге Работнова..

Сначала подготовим инструментарий, позволяющий строить тензоры упругости и отображать их на матрицы упругости более наглядные и удобные для практических вычислений,  в стиле программы Mathematica.  Матрица num задает связь тензорных и матричных индексов.

 

 

Получим следующие результаты: (см. в новом окне)

Здесь строится 4 валентный тензор и обеспечивается его векторное представление в 9 мерном пространстве. Построим тензор упругих констант для изотропного материала (см. в новом окне). Под индексом 1 будем понимать x, 2- y, 3-z.

 

На всякий случай, вычислили и матрицу податливостей.

Преобразование тензора упругих констант к новому базису,  осуществляется по тензорному закону , где - матрица преобразования координат.

Пусть известны объемные доли одного изотропного материала смеси  в каждом из направлений базисных векторов и для сравнения с предыдущими результатами пусть они одинаковы в каждом из направлений. Поскольку в тензорном преобразовании координат умножение будет осуществляться 4 раза, а b объемная  доля в одном направлении, то в качестве масштаба будем использовать   .    Посмотрим, что будет происходить с матрицей упругих констант.

 

 

Видим, что результаты аналогичны полученным ранее при использовании объемных мер.

Пусть в различных направлениях осей различные линейные доли материала  {a, b, g}, тогда можно модернизировать матрицу преобразования и получить следующий результат:

 

Здесь уже естественно получаем модель анизотропного материала, поскольку свойства в различных направлениях различны. Такая простая структура матрицы упругих констант естественно будет только в случае, если линейные доли будут заданы вдоль векторов старого базиса. При этом уже естественно нельзя вычислить эффективных модулей упругости l, m . Вместо этого надо вычислять эффективную матрицу упругости как сумму матриц упругости компонент.

 В общем случае, произвольных осей, по которым известны объемные доли, картина намного сложнее и матрица заполняется полностью.

 Схема действий в этом случае должна быть такой. Сначала записываем тензор упругости, для изотропного материала компонента понимая его как описанный в осях симметрии, затем с помощью масштабирующей диагональной матрицы, как это показано выше,  учитываем объемные доли компонента, затем  с помощью тензорного закона преобразования координат  преобразуем координаты тензора упругих констант в общую систему координат,  в которой решаем задачу.  А затем, с помощью описанного выше алгоритма преобразования к матрице, получаем матрицу упругих констант для  компоненты.

 Таким образом, строим матрицы для каждой компоненты и  суммированием их получаем матрицу упругости для всего композитного материала.

Логика построения матрицы преобразования следующая: пусть   базисные ортонормированные векторы локальной системы координат, в нашем случае это система координат в которой легко масштабируется  в соответствии с объемными долями тензор упругости, пусть  - базисные  ортонормированные, фундаментальные векторы в которых ставится и решается задача. В локальной системе удобно описать тензор упругости, а в фундаментальной решать всю задачу, используя матрицу упругости.  Связь между этими базисами можно представить в виде .

Другими словами , столбцы матрицы линейного преобразования n , это координаты, или направляющие косинусы,  локального базиса в глобальном, так как обычно   

 

Результат не помещается, поэтому читателю придется поверить, что матрица оказывается полностью заполненной и симметричной, или убедиться в этом используя программу Mathematica . Запрограммировать все эти преобразования несложно и вычислительные затраты не велики.

Осреднение на основе напряжений

Ранее для построения эффективной матрицы упругости использовалось предположение о том, матрицы упругости компонент складываются пропорционально объемным долям с учетом направлений. Будем обозначать такую матрицу как . Это достаточно обоснованно, если предполагается полное прилипание всех компонент между собой и предполагается единство в среднем деформаций. С другой стороны для внутренней энергии можно записать и выражение через напряжения и матрицу податливости, и предположить, что сложение пропорционально объемным долям осуществляется для матриц податливости компонент, тогда можно записать цепочку равенств . Осредненную матрицу упругости полученную на основе матриц податливости компонент, будем обозначать . Предположение о осреднении податливостей, обычно называют гипотезой Рейсса и оно применимо в большей степени для грунтов и других сред где нельзя гарантировать полного и прочного прилипания. Два эти подхода задают крайние позиции, поэтому в программном обеспечении следует ввести управляемый параметр s, так чтобы была возможность задавать и промежуточные состояния по правилу . Использование этого параметра позволит получать оптимистичные, пессимистичные или реалистичные оценки при расчетах. При программировании это не должно вызывать затруднений и техника работы с матрицами податливости такая же как и с матрицами упругости. Единственно, стоит привести технологию построения тензора податливости:

Простым сравнением с полученным ранее на всякий случай прямым обращением матрицы упругости убеждаемся, что тензор податливости строится правильно, а значит в нем можно учитывать объемные доли по направлениям и так далее. Можно и определять  параметр s на модельных задачах, или физических экспериментах.

Поясним, как возникают два этих крайних подхода. Для этого представим серию столбиков единичного сечения из шоколада, карамели, ореха и так далее, и сверху на них лежит хорошо замороженный брикет мороженного. В силу того, что мороженное хорошо заморожено деформация у каждого столбика будет одинаковой, а напряжения в каждом столбике будет разным. Определим средний модуль упругости для столбиков. .  Примем разные сечения столбиков и получим гипотезу Фойгта о среднем модуле как среднем арифметическом модулей компонент.

Теперь представим, что мороженное в непромокаемой оболочке растаяло, при этом на каждый столбик будет практически одинаковое давление и у каждого столбика будет уже своя деформация:

. То есть видим, что в этой ситуации средний модуль определяется как среднее гармоническое модулей упругости, или, что то же самое обратная величина к среднему арифметическому податливостей. Так возникает гипотеза Рейсса.

Понятно, что в процессе таяния средний модуль упругости будет принимать промежуточные значения между средним гармоническим и средним арифметическим. Когда "каждый за себя", как в грунте, среда слабее сопротивляется, чем когда "один за всех и все за одного", как в железобетоне.

Из алгебры известно, что среднее гармоническое не больше среднего арифметического. Можно сделать вывод, что в реальных композитах истинное значение будет достаточно хорошо аппроксимироваться некоторой линейной комбинацией двух крайностей.

До сих пор предполагали, что шоколад, карамель, орехи и так далее были расположены перпендикулярно брикету мороженного, теперь пусть они положены все один на другой. Тогда понятно, что не зависимо от того растаяло оно или нет напряжение будет всегда одинаковым и средний модуль мы должны считать как среднее гармоническое. Но если в мороженное и часть начинки навтыкали на одну глубину палочек от мороженного, то можно считать, что между палочками будет одинаковая деформация и в этом объеме естественно определить среднее как среднее арифметическое и трактуя объем со сваями как единое целое уже его использовать в среднем гармоническом с остальными слоями. Другими словами  при армировании грунта сваями в армированном объеме можно принять гипотезу о равенстве деформаций, а следовательно для всех компонент, включая сваи можем осреднять свойства армированного объема, включая сваи как среднее арифметическое, то есть считая, что все слои расположены не горизонтально, а вертикально.  

Если сваи расположены достаточно редко, то можно принять гипотезу об одинаковых напряжениях в столбике грунта и грунт осреднить как среднее гармоническое, а затем эти уже осредненные столбики  осреднять как средние арифметические со сваями. В ортогоналиных направлениях естественно осреднять как последовательные слои все, то есть как среднее гармоническое. Таким образом легко определять свойства в трех ортогональных направлениях, а следовательно, можем рассматривать свайное основание как анизотропную среду.

Таким образом можно получить оценки для модулей в случае свайных оснований. При этом, естественно, использовать идею Цытовича об эквивалентном слое, для ограничения рассматриваемых слоев или немного обобщить ее и окаймить рассматриваемую область конечными элементами моделирующими бесконечное полупространство. При этом, комбинация упругих характеристик и размеров  конечных элементов должны быть согласованными таким образом, чтобы прогиб при равномерном давлении совпадал с известным аналитическим решением о прямоугольном нагружении полупространства равномерным давлением. Это решение можно найти в книге Лурье по теории упругости, или основательной работе Флорина о механике грунтов, в последнем случае следует быть внимательным, так как имеются опечатки.

Логично распространить подобный подход и на матрицы упругости, тогда по осредненной матрице упругости в коэффициентах Ляме, найдем и эффективные коэффициенты Пуассона и модули упругости по направлениям.. 

О предельной поверхности и эквивалентных напряжениях

Композитные материалы делают обычно из-за того, что какие-то свойства исходных компонент не устраивают и их необходимо поправить. Достаточно часто один из материалов имеет хорошие свойства на сжатие и плохие на растяжение, и это поправляют, добавляя в зоны растяжения материал, который хорошо сопротивляется растяжению, как это происходит в железобетоне. Или надо усилить сопротивление растяжению, при сохранении герметичности, как это делают в резиновых лодках и байдарках, столь любимых автором и его друзьями. Иногда надо усилить сопротивление сжатию, как это осуществляют при укреплении оснований зданий обустройством  свай, и сооружением избушек на курьих ножках, что лишний раз подтверждает справедливость спирали Гегеля.

При материалах по разному сопротивляющихся растяжению и сжатию,  обычно используют критерий Кулона- Мора, который в виде поверхности разрушения можно записать в виде   или в виде  , где - нормальные напряжения, t - касательные напряжения , с-  сцепление, j угол внутреннего трения  ,- напряжение сжатия эквивалентное связности. Это выражение гладким образом можно записать в форме предложенной Друкером в виде  . Где  инварианты тензора напряжений.

Таким образом, для описания поверхности разрушения или наступления пластичности надо знать связность и угол внутреннего трения.  Для некоторых материалов эти величины затабулированы, но для некоторых материалов табулируются предельные напряжения растяжения-сжатия. По сути использования  в критерии Друкера это одно и то же.   На картинке представлен вид поверхности разрушения, взятый из документации по Ansys.

 

Каждому тензору напряжений в этих осях  соответствует вектор и в соответствии с гипотезой единой кривой, если конец вектора внутри конуса, то разрушения не происходит, а на поверхности конуса наступает разрушение или переход в пластическое состояние. Для одномерного растяжения нарисуем сечение конуса плоскостью образованной двумя векторами, осью конуса и вектором нагрузки:

Здесь n- единичный вектор на оси в направлении начала конуса, S - вектор, соответствующий растяжению.

тогда для тангенса угла трения можем записать  , с другой стороны аналогичную картинку можно нарисовать и для сжатия и, следовательно записать . Приравняв правые части получим уравнение относительно  . Решим его , потом найдем  tg f и связность с.

 

Сжатие эквивалентное связности   , тангенс угла трения,  сцепление

Аналогично получаются и обратные формулы:

получим .

Понятно, что из этого множества решений надо выбрать положительные  и сократить  мнимую единицу:

, где с-связность,  t- тангенс угла внутреннего трения,  Rt- предельное напряжение на растяжение, а Rn - модуль предельного напряжения на сжатие.

Здесь все корректно, так как подкоренное выражение всегда неотрицательно, что видно из графика:

В случае если материал одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то конус поверхности разрушения вырождается в цилиндр и, приходим к теории  Мизеса или энергетической теории прочности. 

В рамках гипотезы единой кривой можно учесть и нелинейную связь между напряжениями и деформациями, если использовать нормированные по максимальным значениям кривые. 

Для того, чтобы воспользоваться гипотезой единой кривой, обычно вводят понятие об интенсивности напряжений, с помощью этого понятия устанавливают эквивалентность между сложным напряженным состоянием и простым растяжением. 

 Для того, чтобы использовать это понятие для материалов по разному сопротивляющихся растяжению и сжатию немного обобщим его.  Будем считать два тензора напряжений неразличимыми с точки зрения разрушения, если в пространстве главных напряжений, они находятся на пропорциональном удалении от поверхности разрушения, в смысле продолжения по направлению вектора главных напряжений. Это достаточно логично, так как если концы векторов главных напряжений лежат на поверхности разрушения, то эти состояния эквивалентны - разрушаются, или наступает текучесть. Геометрически пропорциональность обозначает, что если через точку в пространстве главных напряжений и вершину конуса поверхности разрушения провести прямую и вращением вокруг вектора направленного в вершину, построить новый конус, то все точки этого конуса, считаются неразличимыми с точки зрения разрушения. Поэтому достаточно провести физический эксперимент на произвольном векторе этого конуса, чтобы иметь возможность судить о возможности разрушения в любой точке. В качестве такого вектора, наиболее просто выбрать одномерное напряженное состояние, например растяжение или сжатие, что обычно и делают. Нарисуем картинку, где S - вектор главных напряжений, e - произвольное направление, его будем брать единичным вектором по одной из осей и обозначать m.  Относительно косинуса fi , через скалярные произведения можно записать 2 соотношения, и составить из них одно уравнение относительно длины эквивалентного вектора Se. Решим это уравнение и получим выражение для эквивалентного относительно растяжения напряжения.

 

 

 

 

 

 

Не самое простое выражение получилось, поэтому проверим предел этого выражения при стремлении напряжения эквивалентного связности материала к бесконечности, другими словами, предел будет эквивалентным напряжением для материала одинаково сопротивляющимся растяжению и сжатию. 

 

 

 

И для сравнения, часто встречающаяся в литературе по сопротивлению материалов запись:

 

Из сравнения с предыдущим можно сделать вывод о полном соответствии. Зависимость эквивалентного растяжению напряжения зависит только от напряжения эквивалентного связности, что очень удобно, так как позволяет представить образующую конуса криволинейной, при этом напряжение эквивалентное связности можно считать функцией  первого инварианта тензора напряжений, тогда с помощью немногих экспериментов на растяжение-сжатие в условиях возрастающего гидростатического давления, можем построить криволинейную коническую поверхность разрушения и более точно сможем моделировать процессы деформирования в условиях нелинейного поведения.

Аналогично в качестве одномерного направления можно выбрать сжатие и получать напряжение эквивалентное сжатию, что, наверное,  предпочтительнее для строителей.

 

 

 

 

 

Видим, что в пределе оба подхода совпадают с обычным определением  интенсивности, с точностью до знака.

Понятно, что таким же образом, можно ввести и понятие интенсивности тензора деформаций и говорить об интенсивности сжатия или растяжения.

 В этом и заключается принцип единой кривой для связи напряжений и деформаций.

Главные напряжения являются инвариантами тензора деформаций. Но это не единственные инварианты тензора. Часто вводят другую систему инвариантов через след тензоров:

Результат этого упрощения выражения 0, что говорит об эквивалентности выражений в равенстве.

Снова 0.

Здесь просто показали эквивалентность записи эквивалентного напряжения через главные напряжения и через инварианты, определенные через следы. Запись через следы следует признать более предпочтительной, так как во первых, не надо искать 3 главные напряжения, а достаточно 2 инвариантов, легко вычисляемых по тензору напряжений. Последнее выражение показывает запись эквивалентного напряжения для материала одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию. Еще приведем запись через инварианты и предельные значения для растяжения и сжатие:

Результат 0.

Для эквивалентного сжатия, как и ранее достаточно просто сменить знак.

Все эти соображения необходимы, для того, чтобы решить задачу о деформируемом твердом теле. Но после этого надо принять решение о работоспособности конструкции. Иногда бывает достаточно информации о том, что прогибы не больше допускаемых и те или иные характеристики тензора напряжений не превышают заданных значений. Достаточно часто в строительстве и сварном деле ограничивают и характеристики тензора деформаций, опираясь на критерий критического раскрытия трещин, так как при его использовании легко обеспечить неразрушающий контроль при изготовлении. Критическое раскрытие трещин является локальным критерием. В молодости автор, занимаясь физическим моделированием, для определения направления главных напряжений и наиболее нагруженных мест конструкции, часто использовал для этого покрытие раствором канифоли и должен признать, что это очень эффективно. Понятно, что трещины идут перпендикулярно направлению главной деформации, по крайней мере розетки из тензометров всегда подтверждали это. Обычно величину раскрытия трещины определяют в виде линейной функции от главной деформации или ее оценки, и коэффициента зависящего от объемного содержания арматуры и диаметра арматуры. В СНИПе, например, линейно зависит от объемного содержания арматуры и как . На ограничение в виде раскрытия трещин, с точки зрения механики деформируемого тела естественно смотреть как на определение предельной максимальной деформации, другими словами проектирование ведется исходя из ограничений на предельные деформации, в отличие от машиностроения, где ограничения, обычно, назначаются в виде предельных напряжений. Принципиальной разницы нет, если связь между напряжениями и деформациями в единой кривой является возрастающей функцией, но в случае неубывающих функций могут быть серьезные различия из-за площадок текучести. При использовании программ общего назначения, удобнее переформулировать критерий раскрытия трещин на критерий предельных допускаемых напряжений.

Задача об рациональном армировании, как и большинство проектных задач, с математической точки зрения не линейна, то есть для решения требует некоторого начального приближения и итерационного процесса для уточнения, за исключением совсем простых задач, типа консольной балки. Поэтому, по мнению автора, значительный интерес представляют методы оптимизации конструкций, представленные например в программе Ansys, но это уже тема совсем другого разговора. А в обычной жизни надо помнить, что чем лучше начальное приближение, тем меньше итераций, следовательно надо внимательнее анализировать прототипы конструкций и накапливать проектный опыт.

Общий алгоритм может быть примерно таким:

Сначала, считая что удастся сконструировать материал одинаково сопротивляющийся растяжению и сжатию, решаем нелинейную задачу, так как в проектах, рационально использующих материал,  ограничения обычно выступают в форме деформаций за пределами действия закона Гука, или достаточно больших прогибов, и подбираем основные геометрические размеры конструкции. Иногда на этом этапе решают линейную задачу при 4...6 кратном увеличении нагрузки, хотя это и не совсем то же самое, но позволяет за одно разложение получить различное количество воздействий и выбрать наиболее опасные.

Далее на фрагментах задачи с краевыми условиями от предыдущего решения можно подобрать объем и направление армирования, уже учитывая различные сопротивления материала наполнителя растяжению-сжатию с целью обеспечения поведения эквивалентного равно сопротивляющемуся материалу . В принципе, этот процесс вполне поддается автоматизации и эквивалентен, например, подбору толщин в пластинке, при заданной нагрузке, с целью оптимизации. Некоторые программы, реализующие метод конечных элементов, имеют такие возможности.

Если удалось, то подобрать диаметры арматуры, если нет, то как обычно в нелинейных задачах, надо осуществлять корректировку начального приближения и осуществлять итерации "с мужеством и оптимизмом", насколько хватит терпения и денег .

Нелинейность

Для исследования нелинейных свойств поведения материала под действием нагрузки обычно проводят испытания образцов в испытательных машинах. Обычно это опыты на растяжение и сжатие, на основе которых можно построить истинную диаграмму, то есть кривую в осях напряжение -деформация и учитывающая изменение сечения в процессе нагружения. Предельные значения растяжения- сжатия, как это показано выше, позволяют построить коническую поверхность вращения и ввести понятие эквивалентного по растяжению напряжения. То есть, инварианта тензора напряжений согласованного с опытами в испытательной машине. Как правило, такая информация есть для каждого компонента смеси, которую надо рассчитывать. Для анизотропной смеси из изотропных компонентов, как показано ранее, можно построить сразу матрицу жесткости на основе матриц жесткости компонент и для этого достаточно знать объемные доли в каждом направлении и коэффициенты Ляме компонент.

Для решения нелинейных задач, достаточно часто используют метод переменных параметров упругости, который сводит решение нелинейной задачи к последовательности обычных линейных задач, в которых меняются упругие константы на основе экспериментальной кривой деформирования для растяжения или сжатия. Рассмотрим определение характеристик среды на шаге итераций. Обычно их называют секущими характеристиками упругости. Для этого рассмотрим с вычислительной точки зрения процесс в испытательной машине.

 

Здесь вычислили матрицу податливости, как обратную к матрице упругости и проверили это. Далее вычислим деформации в образце как произведение матрицы податливости на вектор напряжений.

Деформация в направлении усилия

Первый инвариант деформации, след тензора деформации 

След тензора деформации это утроенная средняя деформация или гидростатическое давление. Как отмечается у Биргера " Опыты, проводимые при всестороннем давлении до 20000 атм, подтверждают, что средняя деформация остается упругой." Другими словами, величина 3 l+2 m остается неизменной, и может определяться через обычные упругие постоянные. Пусть и определяется из экспериментального графика по деформации определенной из решения упругой задачи. Тогда имеем два уравнения относительно двух неизвестных секущих характеристик и решив их можем найти секущие модули, которые при использовании в упругой задаче, дадут такие же деформации.

Таким образом получили секущие коэффициенты Ляме. Несложно получить и секущие модуль упругости и коэффициент Пуассона.

Для надежности можем сравнить их с представленными у Биргера и убедится в полном совпадении. Учитывая, что графики истинных деформаций на образцах это всегда неубывающие функции, из последнего выражения можно сделать вывод, что секущий коэффициент Пуассона всегда будет меньше 0.5. Таким образом можно поступить с каждым компонентом смеси и далее как обычно построить текущую для шага секущую матрицу упругости. Следовательно, можем решать упругопластические задачи как нелинейно упругие при достаточно тонком учете свойств компонент. Если ищется решение не в форме деформационной теории, а в форме теории пластического сечения, или другими словами инкрементальной теории по возрастанию некоторого параметра, то формулы определения упругих постоянных остаются формально такими же, но при этом нас интересуют не секущие, а касательные упругие характеристики, поэтому под f мы должны понимать , то есть отношение приращения напряжения к приращению деформации.

 

Заключение

Вроде все,  о чем хотелось рассказать по мотивам работы со строителями. Наиболее важный вывод лежит в гуманитарной области: Российская наука, после серии впечатляющих провалов потеряла легитимность в сегодняшнем обществе, ей не верят.  А, следовательно,  наука вынуждена жить на подачки, называемые грантами, пользы народ не видит.  Заигралась в степени да статусы и дальше так хочет, судя по всему, нишки да щели подыскивает, плесенью покрываться, колхозы в виде "школ" городит и сторожит. Бойцовский дух, пассионарность ослабли. Этот вывод вполне подтверждается и анализом сайтов о спросе на рабочую силу и газет и опытом друзей.

Но, как говорил очаровательный герой культового сериала: “Своим умом живи, Пчела…”, очень похожий на некоторых моих  знакомых по лесному бизнесу, конечно не таких крутых, что вполне совпадает с мнением, ныне покойного наследника русских царей, опубликованным в конце восьмидесятых в журнале “Огонек”.  Тогда не прислушались...

Литература

  1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа: - М.: Наука, 1981.
  2. Кравчук А.С., Майборода В.П., Уржумцев Ю.С. Механика полимерных и композиционных материалов:- М.: Наука, 1985.
  3. Композиционные материалы. Справочник:- М.: Машиностроение, 1990.
  4. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2:- М.: Наука, 1970.
  5. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела: - М.: Наука, 1988.
  6. Дьяконов В.П. Системы символьной математики Mathematica 2 и Mathematica 3: - М.:СКпресс, 1998.
  7. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: - М.: Мир, 1975.
  8. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация: - М.: Мир, 1985.
  9. Басов К.А. ANSYS в примерах и задачах: - М.: Компьютер Пресс, 2002.

Санкт-Петербург, январь-февраль 2003 года

В начало

| На первую страницу | Поиск | Купить Matlab

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter


Copyright © 1993-2024. Компания Softline. Все права защищены.

Дата последнего обновления информации на сайте: 04.03.17
Сайт начал работу 01.09.00