Архив разработки (39 Кб, Word, Mathcad)

Введение

Множество различных физико - химических процессов описывается уравнением типа "реакция – диффузия". Одним из методов описания таких процессов на двумерных и трехмерных структурах является метод эффективной среды [1]. В рамках этого метода диффузионные свойства решетки описываются эффективной (средней) диффузионной проводимостью, которая зависит не только от величины коэффициента диффузии в данной среде, но и от значения константы скорости реакции k.

В настоящей работе описан алгоритм и приведен пример программы расчета эффективной диффузионной проводимости для случая бинарной проводимости, когда часть связей является заблокированной. Этот случай интересен тем, что при малых значениях параметра k в системе возникает явление перколяции.

В качестве модели структурной среды мы рассматривали решетку Бете, топология которой полностью характеризуется координационным числом (т.е. числом ближайших соседей) Z. Структура содержит узлы, соединенные связями, которые мы будем называть порами. Пример такой структуры для Z=3 приведен на рис.1.

Одномерное уравнение реакции – диффузии имеет вид:

где D – коэффициент диффузии, C – концентрация, t – время, k – константа скорости реакции. После дискретизации уравнения (1) по переменной х оно может быть записано в виде

где W_ij=[D(x_i)+D(x_j)]/(2h²), h – расстояние между узлами; C_i(t)=C(x_i,t) – концентрация в узле i. Применяя преобразование Лапласа по переменной t , согласно методу приближения эффективной среды в [1] получено уравнение для расчета эффективного (среднего) коэффициента диффузионной проводимости W_m

. (3)

Здесь D a = (W – W_m)/W_m , f (W) – функция плотности распределения коэффициентов диффузионной проводимости. Параметр g a a определяется формулой [1]

, (4)

где b = (Z-1)^-1, d =Z +e . В пределе t® ¥ (что эквивалентно условию l =0) e =k/W_m.

В качестве функции плотности распределения мы рассматривали бинарное распределение проводимости, когда доля p пор обладает конечной проводимостью W₁ (так называемые открытые поры), а проводимость остальных пор равна нулю.

Координационное число принималось равным Z = 3, 6, 100, 1000. Для каждого Z рассматривался случай k = 0.01, 1, 5. Результаты расчета показаны в файле Weff, который реализован в среде MathCad.

Из графиков, приведенных в файле, видно, что при малых k в рассматриваемой системе наблюдается перколяция, т.е. эффективная проводимость резко падает до нуля, когда число открытых пор (порог перколяции p_c) еще заметно отлично от нуля. Значение порога перколяции зависит от числа ближайших соседей Z. При увеличении Z порог перколяции заметно уменьшается. Это связано с тем, что нарушение проводимости меньше сказывается на состоянии системы за счет увеличения числа пор в целом. Заметим, что при Z=3 значение порога перколяции близко к теоретическому значению для простой кубической решетки (~0.25).

Явление перколяции исчезает, когда значение k становится больше или равным 1, а также при Z > 20.

1. M.Sahimi. Chem.Eng.Sci., v.43, p.2981 (1988).