Задача 4

Постановка задачи

Решить приближенно задачу Коши для ОДУ 3 порядка на отрезке [0, 1.5], используя метод Рунге-Кутты 4 с шагами h=0.1 и h=0.05 для систем ОДУ 1 порядка. Оценить погрешность по правилу Рунге. Построить график решения, найденного с шагом h=0.05.

t [0; 1.5]

Необходимый теоретический материал

Пусть дана система дифференциальных уравнений

.....................................

где x - независимая переменная, а - неизвестные функции, n - порядок системы.

Представим систему в векторном виде, обозначив:

Решением системы называется вектор-функция , которая определена и нерерывно дифференцируема на интервале (a, b) и удовлетворяет системе, т.е. для на всем интервале справедливо .

Задачей Коши (задачей с начальными условиями) называется следующая задача: найти такое решение) системы , что , где - заданное число, а - заданный вектор.

Интегральной кривой системы называется кривая в (n+1) -мерном пространстве , заданная уравнением , где - решение системы.Таким образом, решить задачу Коши - это значит найти интегральную кривую, проходящую через заданную точку пространства .

Для нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Если вектор-функция и ее частные производные по переменным непрерывны в области G пространства , то на некотором интервале существует единственное решение системы , удовлетворяющее начальному условию ,

т.е. через каждую точку области G проходит единственная интегральная кривая системы.

Численное решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений состоит в построении таблицы приближенных значений компонент вектора решения в точках .

Чтобы получить расчетные формулы метода Рунге-Кутты для систем дифференциальных уравнений, достаточно в расчетных формулах для уравнений первого порядка заменить на

Задача Коши для любого дифференциального уравнения n-го порядка легко сводится к задаче для системы дифференциальных уравнений порядка n: , где

Решение:

Зададим исходные данные:

Исходное уравнение:

Концы отрезка:

Шаг сетки:

Вычислим число узлов сетки:

Вектор начальных значений:

Преобразуем исходное уравнение 3 порядка в эквивалентной нормальной системе уравнений первого порядка, и запишем её в форме вектора:

Применим метод Рунге-Кутты 4-го порядка для вычисления системы ОДУ:

Результаты решения представим в виде графика:

Оценим погрешность приближённых вычислений для метода Рунге-Кутты методом двойного пересчёта:

Результаты решения представим в виде графика (для сравнения отобразим на графике также результаты решения с шагом h = 0.1 (красным цветом)):

Погрешность вычислений:

Вывод: сведение ОДУ n-го порядка ( n > 1) к системе ОДУ порядка n - часто употребительный способ решения дифференциальных уравнений высших порядков. Встроенная функция rkfixed, реализующая метод Рунге-Кутты 4-го порядка, позволяет решать системы ДУ с высокой точностью.