Результат процесса производства складывается под влиянием многочисленных и разнообразных факторов. Качественный анализ позволяет установить, какие именно факторы влияют на результат производства, а количественный - как конкретно эти факторы влияют на конечный результат. Общий подход к анализу влияний различных факторов на конечный результат, включающий и количественный и качественный анализ, называется факторным анализом.

Основным математическим аппаратом, применяемым в факторном анализе, является аппарат производственных функций. Применяются производственные функции как самостоятельно, так и в составе более сложных экономико-математических моделей. В общем виде цель построения производственной функции можно охарактеризовать как анализ факторов роста или прогнозирование объема выпуска продукции. Производственные функции применяются также при обосновании оптимальных плановых решений. В качестве моделей оптимального планирования производственные функции позволяют, прежде всего, определять максимально эффективные сочетания ресурсов, наиболее целесообразные направления их использования с учетом ограничений объемов ресурсов, пределов их взаимозаменяемости.

Производственная функция есть экономико-математическое выражение зависимости результатов производственной деятельности от обусловивших эти результаты показателей-факторов.

Введем следующие обозначения:

Y - объем выпускаемого продукта в стоимостном выражении,

K - объем основных фондов или капитал,

L - численное выражение объема трудовых ресурсов.

Функция , определяющая функциональную зависимость:

(4.1.1)

называется производственной функцией (ПФ).

Пусть производственная функция F(K,L) удовлетворяет системе условий:

1. 0, , ;
2. , ;
3. , ;
4. ;
5. .

Условия 1) - 5) называются неоклассическими условиями, а производственная функция, удовлетворяющая этим условиям, называется неоклассической.

Будем пользоваться одним из основных видов производственных функций - функцией типа Кобба-Дугласа. Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

(4.1.2)

где параметры: .

Проблема построения производственной функции, так же как и проблема ее использования с целью анализа производства представляет собой сложную задачу, которая включает несколько этапов.

Особое значение имеет отбор параметров, включаемых в производственную функцию. Понятно, что включение всех факторов либо невозможно, либо нецелесообразно: не все факторы известны исследователю, по некоторым может не быть необходимой статистики. Другие не допускают адекватного количественного описания, влияние одних заведомо слабо, некоторые факторы могут оказаться тесно коррелированными.

Анализ и предварительное изучение количественных статистических данных может помочь сделать приближенные выводы о поведении различных экономико-математических характеристик изучаемого производственного процесса. Последующее определение значений параметров проводится методами математической статистики, например, методом наименьших квадратов.

Построенная производственная функция, достаточно адекватно моделирующая производственный процесс, дает широкие возможности для ее применения.

Основная задача анализа производственной функции - дать исходный материал для дальнейших исследований, служить инструментом эффективного оптимального планирования. В этом смысле возможности аппарата производственных функций разнообразны.

Одна из основных целей любого предприятия заключается в максимизации прибыли путем выбора и распределения ресурсов при заданной производственной функции и заданных ценах на ресурсы и ценах на продукцию.

В общем случае эта задача представляет собой задачу нелинейного программирования

(4.1.3)

Целевая функция выражается функцией прибыли , а t неравенств и t - m равенств выражают ограничения на распределение ресурсов и затраты на ресурсы. Функции , которые определяют ограничения, могут быть как линейны, так и не линейны.

Основной целью применения факторного анализа является определение количества и типов зависимостей между факторами производства. Факторный анализ конкретного предприятия подразумевает выявление у него (предприятия) возможностей влияния количественно или качественно на факторы производства с целью выявления потенциальных выгод. В данном случае с помощью производственных функций, как основного инструмента факторного анализа, решим задачу максимизации прибыли, используя и экстенсивные, и интенсивные факторы производства. Производственные функции будем строить в виде:

(4.2.1)

где X и Y - факторы производства, а F(X,Y) - функция, их связывающая. Величины и не являются постоянными параметрами как в функции Кобба-Дугласа, а представляют собой функции аргумента зависящего от времени. Тогда, аргументами функции будут U и C. Таким образом, задача максимизации прибыли будет заключаться в нахождении максимума следующего функционала:

где

(4.2.2)

Система ограничений будет состоять из следующих условий:

1. Цена продукции может измениться не более чем на 1%.
2. Количество выпускаемой продукции не должно превышать величины , и быть меньше 0.
3. Выработка на одного работника может уменьшиться и увеличиться, но не более чем на 2%.
4. Затраты на сырьё и амортизацию основных фондов не могут быть уменьшены.
5. Себестоимость складывается из затрат на сырьё, амортизацию основных фондов, заработную плату, "прочих затрат" и не может равняться 0, и не может измениться более чем на 1%.
6. "Прочие затраты" складывающиеся из разницы всех затрат и затрат на сырьё, амортизацию основных фондов, заработную плату не могут уменьшаться.
    

В файле Control.mcd (173 kb) находится пример реализации данного алгоритма для конкретного предприятия, выпускающего ликёро-водочную продукцию.