Купить Matlab  |  Mathematica  |  Mathcad  |  Maple  |  Statistica  |  Другие пакеты Поиск по сайту
Internet-класс  |  Примеры  |  Методики  |  Форум  |  Download
https://hub.exponenta.ru/


Maple Essentials On-line Tour.
© 2000 Seattle Central Community College.
Перевод В.А.Цыбулько
 
Раздел 02. Алгебраические преобразования ( Algebraic Calculations)
 

© 2000 Seattle Central Community College
публикуется с разрешения

[Maple OLE 2.0 Object] [Maple OLE 2.0 Object]

ZIP-архив (28 Кб, Maple)

К предыдущему разделуК следующему разделу

Maple - это Компьютерная Алгебраическая Система (КАС, C.A.S. - Computer Algebra System ). Это означает, что Maple действует в рамках хорошо знакомых Вам законов алгебры. В процессе изучения разделов Вычисления, Дифференциальные Уравнения и Линейная Алгебра, Вы убедитесь, что Maple с его обширным набором команд полностью обеспечивает выполнение всех необходимых операций в этих областях математики.

В этом разделе Вы узнаете, как вводить алгебраические выражения и подставлять вместо переменных их численные значения. Вы изучите команды, которые позволят раскрывать, раскладывать на множители (факторизовать) и упрощать выражения

02. 01  Команда subs

Упражнение 2.1

Упражнение 2.2

Упражнение 2.3

Упражнение 2.4

02. 02  Команда expand

Упражнение 2.6

02. 03  Команда factor

Упражнение 2.8

Упражнение 2.9

02. 04  Команда simplify

Упражнение 2.11

Упражнение 2.12

 

02. 01 Команда subs

* The subs command *

Пример 01

В качестве первого примера рассмотрим выражение 3*x^2+8 и присвоим ему имя W .

> W:=3*x^2+8;

W := 3*x^2+8

Предположим теперь, что Вы хотите подставить сюда вместо х число 4 . Наиболее простой для этого способ - воспользоваться командой subs :

> subs(x=4,3*x^2+8);

56

Будет ещё лучше учесть наличие у выражения собственного имени:

> subs(x=4,W);

56

Пример 02

Команда subs без проблем выполнит замену переменной . Так для того, чтобы в выражении 3*x^2+8 переменную х заменить на 4 , следует выполнить следующие команды:

> W:=3*x^2+8;

W := 3*x^2+8

> M:=subs(x=5+2*u,W);

M := 3*(5+2*u)^2+8

Новому выражению, как Вы поняли, присвоено имя M . Теперь попросим Maple представить многочлен M в развёрнутой форме, для чего применим команду expand :

> expand(M);

83+60*u+12*u^2

Пример 03

Команда subs очень универсальна. Ею можно пользоваться и при вычислении значений выражений, содержащих несколько переменных. Например, вот как выполняется подстановка x = 7 и у = 12 в выражение U = 2/5*x^2+3*y :

> U:=(2/5)*x^2+3*y;

U := 2/5*x^2+3*y

> subs(x=7,y=12,U);

278/5

> evalf(%);

55.60000000

Пример 04

Команда subs с успехом применяется и при подстановке значений переменных в уравнение . Это чрезвычайно важно, например, при проверке корней уравнения. В следующих примерах мы подставим несколько значений переменной х в уравнение x^3-5*x^2+7*x-12 = 0 . Сколько корней мы "угадали"?

> eqn:=x^3-5*x^2+7*x-12=0;

eqn := x^3-5*x^2+7*x-12 = 0

> subs(x=3,eqn);

-9 = 0

> subs(x=4,eqn);

0 = 0

> subs(x=5,eqn);

23 = 0

Упражнение 2.1

Выражению x^2+4*x-3 присвойте имя k , а выражение k^2-9 назовите М . А теперь, используя Maple, вычислите 3*M+6 .

Указание : чтобы предложить Maple записать выражение в развёрнутом виде, используйте команду expand . Т.е. следует использовать команду expand(3*M+6); . О команде expand более полно Вы узнаете в следующем разделе.

Учебная площадка 2.1

>

>

>

>

>

>

Ответ 2.1

> k:=x^2+4*x-3;

k := x^2+4*x-3

> M:=k^2-9;

M := (x^2+4*x-3)^2-9

> 3*M+6;

3*(x^2+4*x-3)^2-21

> expand(3*M+6);

3*x^4+24*x^3+30*x^2-72*x+6

Упражнение 2.2

С помощью команды expand представьте в виде полинома выражение (1+x)^4 .

Учебная площадка 2.2

>

>

>

>

Ответ 2.2

> w:=(1+x)^4;

w := (1+x)^4

> expand(w);

1+4*x+6*x^2+4*x^3+x^4

А можно и короче:

> expand((1+x)^4);

1+4*x+6*x^2+4*x^3+x^4

Упражнение 2.3

Пусть P = ax^3+bx^2+c*x+d . Найти P , если x = 0.01 , a = -1/5 , b = 2/5 , c = 0 , и d = 13/15 .

Учебная площадка 2.3

>

>

>

>

Ответ 2.3

> P:=a*x^3+b*x^2+c*x+d;

P := a*x^3+b*x^2+c*x+d

> subs(x=0.01,a=-1/5,b=2/5,c=0,d=13/15,P);

.8667064667

Упражнение 2.4

Используя команду subs , проверьте, являются ли значения х = 1,2 и х = 3 корнями уравнения x^3-16*x^2+51*x-36 = 0 .

Учебная площадка 2.4

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

Ответ 2.4

> eqn:=x^3-16*x^2+51*x-36=0;

eqn := x^3-16*x^2+51*x-36 = 0

> subs(x=1,eqn);

0 = 0

> subs(x=2,eqn);

10 = 0

> subs(x=3,eqn);

0 = 0

Таким образом, и х = 1 и х = 3 - корни уравнения. (Решать уравнения с помощью Maple Вы научитесь в разделе 5).

02. 02 Команда expand

* The expand command *

Прямое назначение команды expand - представление полиномов в стандартной ("развёрнутой") форме. Однако этим её возможности далеко не исчерпываются. Например, команда широко применяется в тригонометрических преобразованиях и т.д.

Пример 01

Применим команду expand для записи в стандартной форме выражения (x+2)^2*(3*x-3)*(x+5) :

> k:=(x+2)^2*(3*x-3)*(x+5);

k := (x+2)^2*(3*x-3)*(x+5)

> expand(k);

3*x^4+24*x^3+45*x^2-12*x-60

>

Пример 02

Maple с помощью expand в состоянии применить некоторые основные формулы тригонометрии:

> expand(sin(2*x));

> expand(cos(2*x));

Попробуйте получить аналогичные варианты тригонометрических формул двойного угла для друших аргументов. Например, sin3x, cos 6y, и т.д.

Пример 03

Посмотрим, наконец, как функционирует команда expand в случае степенных выражений. В частности, применим её к выражению x^(1/2)*(x^(3/2)+x^(-1/2)) :

> h:=x^(1/2)*(x^(3/2)+x^(-1/2));

h := sqrt(x)*(x^(3/2)+1/(sqrt(x)))

> expand(h);

x^2+1

Упражнение 2.6

Разверните (x+1)^n для случаев n=2, n=3, n=4.

Учебная площадка 2.6

>

>

>

>

>

>

>

>

>

Ответ 2.6

> expand((x+1)^2);

1+2*x+x^2

> expand((x+1)^3);

1+3*x+3*x^2+x^3

> expand((x+1)^4);

1+4*x+6*x^2+4*x^3+x^4

02. 03 Команда factor

* The factor command *

Пример 01

Разложим на множители выражение 3*x^2-10*x-8 :

> w:=3*x^2-10*x-8;

w := 3*x^2-10*x-8

> factor(w);

(3*x+2)*(x-4)

Более короткий вариант:

> factor(3*x^2-10*x-8);

(3*x+2)*(x-4)

Пример 02

Сначала выражение 2*(x-2)*(2*x^2+5*x+2)*(x+4) представим в виде суммы одночленов. А затем к результату применим команду factor . Попробуйте объяснить, почему конечный результат отличается от первоначального выражения.

> H:=2*(x-2)*(2*x^2+5*x+2)*(x+4);

H := 2*(x-2)*(2*x^2+5*x+2)*(x+4)

> ans:=expand(H);

ans := 4*x^4+18*x^3-8*x^2-72*x-32

> factor(ans);

2*(x-2)*(2*x+1)*(x+4)*(x+2)

Пример 03

Maple в состоянии раскладывать на множители ("факторизовать") и выражения, содержащие несколько переменных. Например, это касается многочлена x^2*y+2*xy+y :

> h:=x^2*y+2*x*y+y;

h := x^2*y+2*x*y+y

> factor(h);

y*(1+x)^2

Пример 04

Если рациональных корней у многочлена нет (но могут быть иррациональные), Maple просто выводит исходное выражение без комментария:

> factor(3*x^2-10*x-9);

3*x^2-10*x-9

Пример 05

Команда factor применяется не только по отношению к рациональным функциям. Она может использоваться и в случае других математических объектов.

Попробуем, например, факторизовать тригонометрическое выражение sin^2*x-cos^2*x :

> factor((sin(x))^2-(cos(x)^2));

(sin(x)-cos(x))*(sin(x)+cos(x))

Пример 06

Если команду factor применить к дробно-рациональному выражению, то она одновременно факторизует и числитель и знаменатель. В случае возникновения одинаковых множителей, автоматически производится сокращение ( без указания на нарушение тождественности ):

> A:=(x^3-7*x^2+15*x-9)/(x^2+4*x+4);

A := (x^3-7*x^2+15*x-9)/(x^2+4*x+4)

> factor(A);

(x-1)*(x-3)^2/((x+2)^2)

> B:=(x^3-7*x^2+15*x-9)/(x^2-4*x+3);

B := (x^3-7*x^2+15*x-9)/(x^2-4*x+3)

> factor(B);

x-3

Пример 07

Продемонстрируем, как можно обойти автоматическое сокращение при факторизации.

Maple-команды numer(k) и denom(k) предназначены для определения, соответственно, числителя и знаменателя дробного числа k . Рекомендуем их применять и в случаях, когда выгодно избегать сокращения дроби на общие множители:

> k:=(x^3-7*x^2+15*x-9)/(x^2-4*x+3);

k := (x^3-7*x^2+15*x-9)/(x^2-4*x+3)

> factor(numer(k)); factor(denom(k));

(x-1)*(x-3)^2

(x-1)*(x-3)

А можно и схитрить :

> [factor((x^3-7*x^2+15*x-9))]/factor((x^2-4*x+3));

[(x-1)*(x-3)^2]/((x-1)*(x-3))

Упражнение 2.8

Разложить на множители выражение: 3*x^4-2*x^3+22*x^2-18*x-45 .

Учебная площадка 2.8

>

>

>

>

Ответ 2.8

> factor(3*x^4-2*x^3+22*x^2-18*x-45);

(3*x-5)*(1+x)*(x^2+9)

Упражнение 2.9

Разложите на множители выражение x^(1/2)-x^(3/2) , а затем примените команду expand для проверки результата.

Учебная площадка 2.9

>

>

>

>

>

Ответ 2.9

> ww:=x^(1/2)-x^(3/2);

ww := sqrt(x)-x^(3/2)

> factor(ww);

-sqrt(x)*(sqrt(x)-1)*(sqrt(x)+1)

> expand(%);

sqrt(x)-x^(3/2)

02. 04 Команда simplify

* The simplify command *

Пример 01

Рассмотрим выражение cos^5*x+sin^4*x+2*cos^2*x-2*sin^2*x-cos(2*x) . Maple зачастую успешно справляется с упрощением подобных выражений, по ходу дела используя основные тригонометрические тождества:

> V:=cos(x)^5 + sin(x)^4 + 2*cos(x)^2 - 2*sin(x)^2 - cos(2*x);

V := cos(x)^5+sin(x)^4+2*cos(x)^2-2*sin(x)^2-cos(2*...

> simplify(V);

cos(x)^5+cos(x)^4

Кстати, вот как ввести исходное выражение в виде, привычном для математика:

> cos^5*x+sin^4*x+2*cos^2*x-2*sin^2*x-cos(2*x);

cos^5*x+sin^4*x+2*cos^2*x-2*sin^2*x-cos(2*x)

Пример 02

Тригонометрические функции двойного, тройного и т.д. аргумента Maple старается свести к функциям "одинарного" угла:

> simplify(sin(5*t)+sin(3*t));

16*sin(t)*cos(t)^4-8*sin(t)*cos(t)^2

Пример 03

Команда simplify с успехом применяется при сложении дробно-рациональных выражений. Например, сложим дроби 1/(x+1) и x/(x-1) :

> M:=(1/(x+1))+(x/(x-1));

M := 1/(1+x)+x/(x-1)

> simplify(M);

(2*x-1+x^2)/((1+x)*(x-1))

Упражнение 2.11

Упростить выражение: 7/(x+2)+3*x/((x+2)^2) .

Учебная площадка 2.11

>

>

>

Ответ 2.11

> simplify(7/(x+2)+(3*x)/(x+2)^2);

2*(5*x+7)/((x+2)^2)

Упражнение 2.12

Как, на Ваш вгляд, Maple упростит выражение sin(3*t)-sin(7*t) ? Совпадает ли результат упрощения с Вашими ожиданиями?

Учебная площадка 2.12

>

>

>

>

Ответ 2.12

> h:=sin(3*t)-sin(7*t);

h := sin(3*t)-sin(7*t)

> simplify(h);

-20*sin(t)*cos(t)^2-64*sin(t)*cos(t)^6+80*sin(t)*co...

В начало страницы К предыдущему разделуК следующему разделу

| На первую страницу | Поиск | Купить Matlab

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter


Copyright © 1993-2024. Компания Softline. Все права защищены.

Дата последнего обновления информации на сайте: 04.03.17
Сайт начал работу 01.09.00